実数 $a$ が与えられ、すべての実数 $x$ に対して以下の2つの式を満たす関数 $f(x)$, $g(x)$ を求めます。 $\int_1^x f(t) dt = xg(x) + (a+1)x - 2$ ...(1) $g(x) = x^2 - 2x\int_1^x f(t) dt + 1$ ...(2) また、$h(x) = \int_1^x f(t) dt$ とおき、(1)と(2)から、$h(0)$, $g(x)$, $h(1)$, $a$, $f(x)$を求め、$h(x)$が極値を持つかどうか判定します。

1. 問題の内容

実数 $a$ が与えられ、すべての実数 $x$ に対して以下の2つの式を満たす関数 $f(x)$, $g(x)$ を求めます。

$\int_1^x f(t) dt = xg(x) + (a+1)x - 2$ ...(1)

$g(x) = x^2 - 2x\int_1^x f(t) dt + 1$ ...(2)

また、$h(x) = \int_1^x f(t) dt$ とおき、(1)と(2)から、$h(0)$, $g(x)$, $h(1)$, $a$, $f(x)$を求め、$h(x)$が極値を持つかどうか判定します。

2. 解き方の手順

(1) $h(x) = \int_1^x f(t) dt$ より、$h(0) = \int_1^0 f(t) dt = -\int_0^1 f(t) dt$ です。

(1)に $x=1$ を代入すると、$\int_1^1 f(t) dt = 0 = g(1) + (a+1) - 2$。よって、$g(1) = 2 - (a+1) = 1-a$。

(2)に $x=1$ を代入すると、$g(1) = 1^2 - 2\int_1^1 f(t) dt + 1 = 1 - 0 + 1 = 2$。

したがって、$1-a=2$ より、$a = -1$。

(1)に $x=0$ を代入すると、$\int_1^0 f(t) dt = 0 \cdot g(0) + (a+1) \cdot 0 - 2$。よって、$h(0) = \int_1^0 f(t) dt = -2$。

$\int_0^1 f(t)dt = 2$

(2)に代入して、$g(x) = x^2 - 2x(2) + 1 = x^2 - 4x + 1$。

よって、$g(x)=x^2-4x+1$。

(1)で$a=-1$なので、$\int_1^x f(t) dt = xg(x) + (-1+1)x - 2 = x(x^2-4x+1)-2 = x^3-4x^2+x-2$。

$h(x) = x^3-4x^2+x-2$。

$h(1) = 1-4+1-2 = -4$。

$h'(x) = f(x) = 3x^2 - 8x + 1$。

$3x^2 - 8x + 1 = 0$ を解くと、$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{52}}{6} = \frac{8 \pm 2\sqrt{13}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{13}}{3}$。

$x = \frac{4 + \sqrt{13}}{3}$ と $x = \frac{4 - \sqrt{13}}{3}$ で極値を持ちます。

$x=\frac{4+\sqrt{13}}{3}$のとき、$f(x)=0$となり、$x$が大きくなると$f(x)>0$となり、$x$が小さくなると$f(x)>0$となるので、$x=\frac{4+\sqrt{13}}{3}$で極小値を取ります。

$x=\frac{4-\sqrt{13}}{3}$のとき、$f(x)=0$となり、$x$が大きくなると$f(x)<0$となり、$x$が小さくなると$f(x)<0$となるので、$x=\frac{4-\sqrt{13}}{3}$で極大値を取ります。

$h'(x)=3x^2-8x+1$なので、$h''(x)=6x-8$。

$h''(\frac{4-\sqrt{13}}{3}) = 6(\frac{4-\sqrt{13}}{3}) - 8 = 8 - 2\sqrt{13} - 8 = -2\sqrt{13} < 0$ なので、極大値。

$h''(\frac{4+\sqrt{13}}{3}) = 6(\frac{4+\sqrt{13}}{3}) - 8 = 8 + 2\sqrt{13} - 8 = 2\sqrt{13} > 0$ なので、極小値。

極大値は $h(\frac{4-\sqrt{13}}{3})$、極小値は $h(\frac{4+\sqrt{13}}{3})$。

$f(x) = 3x^2 - 8x + 1$。

$h(x) = x^3 - 4x^2 + x - 2$

$h'(x) = f(x)$

$f(0) = 1$

$h'(0)=1 > 0$

$h'(1)=3-8+1 = -4 < 0$

$h'(2) = 12 - 16 + 1 = -3 < 0$

$h'(\frac{4}{3}) = 3 \frac{16}{9} - \frac{32}{3} + 1 = \frac{16}{3} - \frac{32}{3} + \frac{3}{3} = \frac{-13}{3} < 0$

$f(x)=0$のとき、$x= \frac{4 \pm \sqrt{13}}{3}$。

$\frac{4 - \sqrt{13}}{3}$は約0.13なので、$h'(0.13)=0$。

$h(0) = -2$ なので、極大値は正、極小値は負。

3. 最終的な答え

テト: -2

ナ: 4

ニ: -4

ヌ: -1

ネ: 3

ノ: 8

ハ: 1

ヒ: 2