問題は、関数 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x + 1$ で定義される曲線 $C$ に関する接線や距離、および面積を求める問題と、定積分を含む関数 $f(x)$ および $g(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、関数 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x + 1$ で定義される曲線 $C$ に関する接線や距離、および面積を求める問題と、定積分を含む関数 $f(x)$ および $g(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x + 1$ の導関数を求めます。

$f'(x) = x^2 - 1$

点 (2, f(2)) における接線 $l_1$ を求めます。$f(2) = \frac{8}{3} - 2 + 1 = \frac{5}{3}$ なので、点(2, 5/3)です。

$f'(2) = 2^2 - 1 = 3$

接線 $l_1$ の方程式は、$y - \frac{5}{3} = 3(x - 2)$ より

$y = 3x - 6 + \frac{5}{3} = 3x - \frac{13}{3}$

よって、アは3、イウは13、エは3です。

次に、$l_1$ と平行な $C$ の接線のうち、$l_1$ と異なるものを $l_2$ とします。接点の $x$ 座標を $t$ とすると、$f'(t) = 3$ より、$t^2 - 1 = 3$ なので、$t^2 = 4$、$t = \pm 2$。$l_1$ と異なる接線を求めるので、$t = -2$。

接点の座標は $(-2, f(-2))$ であり、$f(-2) = \frac{1}{3}(-8) + 2 + 1 = -\frac{8}{3} + 3 = \frac{1}{3}$

よって、接点の座標は $(-2, \frac{1}{3})$ で、オカは-2、キは1、クは3です。

この点と $l_1$ の距離を求めます。点 $(-2, \frac{1}{3})$ から直線 $3x - y - \frac{13}{3} = 0$ への距離は、

$\frac{|3(-2) - \frac{1}{3} - \frac{13}{3}|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|-6 - \frac{14}{3}|}{\sqrt{10}} = \frac{\frac{32}{3}}{\sqrt{10}} = \frac{32}{3\sqrt{10}} = \frac{32\sqrt{10}}{30} = \frac{16\sqrt{10}}{15}$

よって、ケコは16、サシは10、スセは15です。

次に、$C$ と $y$ 軸との交点を通り、$l_1$ と平行な直線 $l_3$ を求めます。$C$ と $y$ 軸との交点は $(0, 1)$ で、$l_1$ と平行なので、傾きは3です。

$l_3$ の方程式は、$y - 1 = 3(x - 0)$ より、$y = 3x + 1$

$C$ と $l_3$ の共有点の $x$ 座標を求めます。$\frac{1}{3}x^3 - x + 1 = 3x + 1$ より、$\frac{1}{3}x^3 - 4x = 0$

$x(\frac{1}{3}x^2 - 4) = 0$、$x(x^2 - 12) = 0$、$x = 0, \pm 2\sqrt{3}$

$x$ 座標のうち最大のものは $2\sqrt{3}$ なので、ソは2、タは3です。

最後に、$C$ と $l_3$ で囲まれた二つの図形の面積の和を求めます。

$\int_{-2\sqrt{3}}^{0} (3x + 1 - (\frac{1}{3}x^3 - x + 1))dx + \int_{0}^{2\sqrt{3}} (\frac{1}{3}x^3 - x + 1 - (3x + 1))dx = \int_{-2\sqrt{3}}^{0} (4x - \frac{1}{3}x^3)dx + \int_{0}^{2\sqrt{3}} (\frac{1}{3}x^3 - 4x)dx$

$= [2x^2 - \frac{1}{12}x^4]_{-2\sqrt{3}}^{0} + [\frac{1}{12}x^4 - 2x^2]_{0}^{2\sqrt{3}} = -(2(12) - \frac{1}{12}(144)) + (\frac{1}{12}(144) - 2(12)) = -24 + 12 + 12 - 24 = -24$　絶対値を取ると$24$

チツは24です。

(2)

$\int_1^x f(t) dt = xg(x) + (a+1)x - 2$

両辺を $x$ で微分すると、$f(x) = g(x) + xg'(x) + a + 1$ (3)

$g(x) = x^2 - 2\int_1^x f(t) dt + 1$

$\int_1^x f(t) dt = \frac{x^2 - g(x) + 1}{2}$

これを最初に与えられた式に代入すると、

$\frac{x^2 - g(x) + 1}{2} = xg(x) + (a+1)x - 2$

$x^2 - g(x) + 1 = 2xg(x) + 2(a+1)x - 4$

$g(x) + 2xg(x) = x^2 - 2(a+1)x + 5$

$g(x)(1 + 2x) = x^2 - 2(a+1)x + 5$

$h(x) = \int_1^x f(t) dt$ とおくと、$h(0) = \int_1^0 f(t) dt = -\int_0^1 f(t) dt$ なので、(1) より、$\int_0^1 f(t) dt = xg(x) + (a+1)x - 2|_{x=0} = -2$

$h(0) = 2$

テトは2です。

$g(x) = x^2 - 2h(x) + 1 = x^2 - \int_1^x 2f(t) dt + 1$

$g(x) = \frac{x^2 - 2(a+1)x + 5}{1 + 2x}$

$g(x) = x^2 - \int_1^x 2f(t) dt + 1$なので、

$g(1) = 1^2 - 2 \int_1^1 f(t) dt + 1 = 2$

$g(1) = \frac{1 - 2(a+1) + 5}{1 + 2} = \frac{4 - 2a}{3} = 2$

$4 - 2a = 6$

$-2a = 2$

$a = -1$

ナは0です。

ニは2です。ヌは-1です。

$g(x) = x^2 + 1$

(3)より、$f(x) = g(x) + xg'(x) + a + 1 = x^2 + 1 + x(2x) -1 + 1 = 3x^2 + 1$

$f(x) = 3x^2 + 1$

ネは3です。ノは0です。ハは1です。

$h(x) = \int_1^x f(t) dt = \int_1^x (3t^2 + 1) dt = [t^3 + t]_1^x = x^3 + x - (1 + 1) = x^3 + x - 2$

$h'(x) = 3x^2 + 1$

$h''(x) = 6x$

$h'(x) = 0$ となる $x$ は存在しないので、極値をもたない。

ヒは0です。

3. 最終的な答え

ア: 3

イウ: 13

エ: 3

オカ: -2

キ: 1

ク: 3

ケコ: 16

サシ: 10

スセ: 15

ソ: 2

タ: 3

チツ: 24

テト: 2

ナ: 0

ニ: 2

ヌ: -1

ネ: 3

ノ: 0

ハ: 1

ヒ: 0 (極値をもたない)