問題4では、関数 $f(x) = x^{-3}$ が与えられています。 (1) $f(\frac{1}{2})$ の値を求めます。 (2) $f'(\frac{1}{2})$ の値を求めます。 (3) 曲線 $C: y = f(x)$ 上の点 $(\frac{1}{2}, f(\frac{1}{2}))$ における $C$ の接線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

問題4では、関数 $f(x) = x^{-3}$ が与えられています。

(1) $f(\frac{1}{2})$ の値を求めます。

(2) $f'(\frac{1}{2})$ の値を求めます。

(3) 曲線 $C: y = f(x)$ 上の点 $(\frac{1}{2}, f(\frac{1}{2}))$ における $C$ の接線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(\frac{1}{2})$ を計算します。

$f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^{-3} = 2^3 = 8$

(2) $f'(x)$ を求めます。

$f(x) = x^{-3}$ より、 $f'(x) = -3x^{-4}$

次に、$f'(\frac{1}{2})$ を計算します。

$f'(\frac{1}{2}) = -3(\frac{1}{2})^{-4} = -3 \times 2^4 = -3 \times 16 = -48$

(3) 接線の方程式を求めます。

接点の座標は $(\frac{1}{2}, f(\frac{1}{2})) = (\frac{1}{2}, 8)$ であり、接線の傾きは $f'(\frac{1}{2}) = -48$ です。

接線の方程式は $y - f(\frac{1}{2}) = f'(\frac{1}{2})(x - \frac{1}{2})$ で与えられます。

$y - 8 = -48(x - \frac{1}{2})$

$y - 8 = -48x + 24$

$y = -48x + 32$

3. 最終的な答え

(1) $f(\frac{1}{2}) = 8$

(2) $f'(\frac{1}{2}) = -48$

(3) $y = -48x + 32$