曲線 $y = x^2$ の $0 \leq x \leq 1$ における曲線の長さ $L$ を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2$ の $0 \leq x \leq 1$ における曲線の長さ $L$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

曲線の長さの公式を使います。

$y = f(x)$ の $a \leq x \leq b$ における曲線の長さ $L$ は、

$L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx$

で求められます。

今回の問題では、$y = x^2$ なので、$f(x) = x^2$ です。

まず、$f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 2x$

次に、$(f'(x))^2$ を計算します。

$(f'(x))^2 = (2x)^2 = 4x^2$

次に、$1 + (f'(x))^2$ を計算します。

$1 + (f'(x))^2 = 1 + 4x^2$

したがって、曲線の長さ $L$ は、

$L = \int_0^1 \sqrt{1 + 4x^2} dx$

となります。

ここで、$2x = \sinh u$ と置換します。すると、$x = \frac{1}{2}\sinh u$ となり、$dx = \frac{1}{2}\cosh u du$ です。

また、$x=0$ のとき、$u=0$ であり、$x=1$ のとき、$u=\sinh^{-1}2$ です。

したがって、

$L = \int_0^{\sinh^{-1}2} \sqrt{1 + \sinh^2 u} \cdot \frac{1}{2} \cosh u du$

$L = \frac{1}{2} \int_0^{\sinh^{-1}2} \cosh^2 u du$

$\cosh^2 u = \frac{1 + \cosh 2u}{2}$ なので、

$L = \frac{1}{2} \int_0^{\sinh^{-1}2} \frac{1 + \cosh 2u}{2} du$

$L = \frac{1}{4} \int_0^{\sinh^{-1}2} (1 + \cosh 2u) du$

$L = \frac{1}{4} [u + \frac{1}{2}\sinh 2u]_0^{\sinh^{-1}2}$

$\sinh 2u = 2\sinh u \cosh u$ なので、

$L = \frac{1}{4} [u + \sinh u \cosh u]_0^{\sinh^{-1}2}$

$u = \sinh^{-1}2$ のとき、$\sinh u = 2$ であり、$\cosh u = \sqrt{1 + \sinh^2 u} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$ です。

$L = \frac{1}{4} [\sinh^{-1}2 + 2\sqrt{5}]$

$L = \frac{1}{4} \sinh^{-1}2 + \frac{\sqrt{5}}{2}$

$\sinh^{-1} x = \ln (x + \sqrt{x^2+1})$ より

$\sinh^{-1} 2 = \ln (2+\sqrt{5})$

$L = \frac{1}{4} \ln (2+\sqrt{5}) + \frac{\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

$L = \frac{1}{4} \ln(2 + \sqrt{5}) + \frac{\sqrt{5}}{2}$