実数 $a$ に対して、以下の2つの式を満たす関数 $f(x)$, $g(x)$ を求める問題です。 $\int_1^x f(t) dt = xg(x) + (a+1)x - 2$ ...(1) $g(x) = x^2 - 2x \int_1^0 f(t) dt + 1$ ...(2) また、$h(x) = \int_1^x f(t) dt$ とおき、与えられた条件から $h(0)$, $g(x)$, $h(1)$, $a$, $f(x)$を求め、さらに関数 $h(x)$ の性質を解答群から選択します。

1. 問題の内容

実数 $a$ に対して、以下の2つの式を満たす関数 $f(x)$, $g(x)$ を求める問題です。

$\int_1^x f(t) dt = xg(x) + (a+1)x - 2$ ...(1)

$g(x) = x^2 - 2x \int_1^0 f(t) dt + 1$ ...(2)

また、$h(x) = \int_1^x f(t) dt$ とおき、与えられた条件から $h(0)$, $g(x)$, $h(1)$, $a$, $f(x)$を求め、さらに関数 $h(x)$ の性質を解答群から選択します。

2. 解き方の手順

(1) $h(x) = \int_1^x f(t) dt$ より、$h(0) = \int_1^0 f(t) dt = - \int_0^1 f(t) dt$

(1)式で $x=1$ とすると、

$\int_1^1 f(t) dt = 1 \cdot g(1) + (a+1) \cdot 1 - 2$

$0 = g(1) + a - 1$

$g(1) = 1 - a$

(1)式で $x=0$ とすると、

$\int_1^0 f(t) dt = 0 \cdot g(0) + (a+1) \cdot 0 - 2$

$\int_1^0 f(t) dt = -2$

よって、$h(0) = -2$

(2)式より、$g(x) = x^2 - 2x \int_1^0 f(t) dt + 1 = x^2 - 2x (-2) + 1 = x^2 + 4x + 1$

$h(1) = \int_1^1 f(t) dt = 0$

(1)式より、$h(x) = xg(x) + (a+1)x - 2$

$h(1) = 1 \cdot g(1) + (a+1) \cdot 1 - 2 = 0$

$g(1) + a + 1 - 2 = 0$

$(1^2 + 4 \cdot 1 + 1) + a - 1 = 0$

$6 + a - 1 = 0$

$a = -5$

$h(x) = x(x^2 + 4x + 1) + (-5+1)x - 2 = x^3 + 4x^2 + x - 4x - 2 = x^3 + 4x^2 - 3x - 2$

$f(x) = h'(x) = 3x^2 + 8x - 3$

$3x^2 + 8x - 3 = (3x - 1)(x+3) = 0$

$x = 1/3, -3$

$h''(x) = 6x + 8$

$h''(1/3) = 6(1/3) + 8 = 2 + 8 = 10 > 0$ 極小値

$h''(-3) = 6(-3) + 8 = -18 + 8 = -10 < 0$ 極大値

$h(1/3) = (1/3)^3 + 4(1/3)^2 - 3(1/3) - 2 = 1/27 + 4/9 - 1 - 2 = (1 + 12 - 27 - 54)/27 = -68/27 < 0$

$h(-3) = (-3)^3 + 4(-3)^2 - 3(-3) - 2 = -27 + 36 + 9 - 2 = 16 > 0$

したがって、極大値は正、極小値は負。

3. 最終的な答え

テト: -2

ナ: 4

ニ: 0

ヌ: -5

ネ: 3

ノ: 8

ハ: -3

ヒ: ②