与えられた微分方程式 $\frac{dN}{dt} = \alpha N$ (ただし、$\alpha > 0$) を初期条件 $N(0) = N_0$ のもとで解く問題です。ここで、「定数係数の同次線形微分方程式の方法で解け」という指示があります。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\frac{dN}{dt} = \alpha N$ (ただし、$\alpha > 0$) を初期条件 $N(0) = N_0$ のもとで解く問題です。ここで、「定数係数の同次線形微分方程式の方法で解け」という指示があります。

2. 解き方の手順

与えられた微分方程式は、変数分離法で解くことができます。

ステップ1: 変数分離

$\frac{dN}{N} = \alpha dt$

ステップ2: 両辺を積分

$\int \frac{dN}{N} = \int \alpha dt$

$\ln|N| = \alpha t + C$

ここで、$C$は積分定数です。

ステップ3: 指数関数で表現

$|N| = e^{\alpha t + C} = e^C e^{\alpha t}$

$N = \pm e^C e^{\alpha t} = A e^{\alpha t}$

ここで、$A = \pm e^C$ は任意の定数です。

ステップ4: 初期条件を適用

$N(0) = N_0$ より、$N_0 = A e^{\alpha \cdot 0} = A e^0 = A$

したがって、$A = N_0$

ステップ5: 解の決定

$N(t) = N_0 e^{\alpha t}$

3. 最終的な答え

$N(t) = N_0 e^{\alpha t}$