(1) $\cos 7\theta \sin 2\theta$ を2つの三角関数の和の形に直せ。 (2) $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = 3\sqrt{2}\sin\theta + \sqrt{7}\cos\theta$ の最大値、最小値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $\cos 7\theta \sin 2\theta$ を2つの三角関数の和の形に直せ。

(2) $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = 3\sqrt{2}\sin\theta + \sqrt{7}\cos\theta$ の最大値、最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 積和の公式を用いる。

$\sin A \cos B = \frac{1}{2}\{\sin(A+B) + \sin(A-B)\}$

この公式を $\cos 7\theta \sin 2\theta = \sin 2\theta \cos 7\theta$ に適用すると、

$\sin 2\theta \cos 7\theta = \frac{1}{2}\{\sin(2\theta+7\theta) + \sin(2\theta-7\theta)\} = \frac{1}{2}\{\sin(9\theta) + \sin(-5\theta)\}$

$\sin(-x) = -\sin(x)$ より、

$\frac{1}{2}\{\sin(9\theta) - \sin(5\theta)\}$

よって、$\cos 7\theta \sin 2\theta = \frac{1}{2}(\sin 9\theta - \sin 5\theta)$

(2) 合成関数を用いて、 $y$ の最大値と最小値を求める。

$y = 3\sqrt{2}\sin\theta + \sqrt{7}\cos\theta$

$R = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + (\sqrt{7})^2} = \sqrt{18 + 7} = \sqrt{25} = 5$

$\cos \alpha = \frac{3\sqrt{2}}{5}$, $\sin \alpha = \frac{\sqrt{7}}{5}$ となる $\alpha$ を用いると、

$y = 5(\frac{3\sqrt{2}}{5}\sin\theta + \frac{\sqrt{7}}{5}\cos\theta) = 5(\cos\alpha \sin\theta + \sin\alpha \cos\theta) = 5\sin(\theta+\alpha)$

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\alpha \le \theta + \alpha < 2\pi + \alpha$

$-1 \le \sin(\theta+\alpha) \le 1$ なので、

$-5 \le 5\sin(\theta+\alpha) \le 5$

したがって、$y$ の最大値は 5、最小値は -5 である。

3. 最終的な答え

(1) $\cos 7\theta \sin 2\theta = \frac{1}{2}(\sin 9\theta - \sin 5\theta)$

(2) 最大値: 5

最小値: -5