与えられた4つの関数について、Maclaurin展開を求める。 (1) $\frac{1}{4+x^2}$ (2) $(e^x - e^{-x})^2$ (3) $\cos^2 x$ (4) $\ln \frac{1+x}{1-x}$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数について、Maclaurin展開を求める。

(1) $\frac{1}{4+x^2}$

(2) $(e^x - e^{-x})^2$

(3) $\cos^2 x$

(4) $\ln \frac{1+x}{1-x}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{4+x^2}$ の場合:

まず、$\frac{1}{4+x^2} = \frac{1}{4(1+\frac{x^2}{4})} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1-(-\frac{x^2}{4})}$と変形する。

$\frac{1}{1-y} = 1 + y + y^2 + y^3 + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} y^n$ ( $|y| < 1$ )というMaclaurin展開を使う。

$y = -\frac{x^2}{4}$を代入して、

$\frac{1}{1-(-\frac{x^2}{4})} = \sum_{n=0}^{\infty} (-\frac{x^2}{4})^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{4^n}$。

よって、

$\frac{1}{4+x^2} = \frac{1}{4} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{4^n} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{4^{n+1}}$。

(2) $(e^x - e^{-x})^2$ の場合:

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!}$

$e^x - e^{-x} = 2x + \frac{2x^3}{3!} + \frac{2x^5}{5!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$(e^x - e^{-x})^2 = (\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2x^{2n+1}}{(2n+1)!})^2 = (2x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{60} + \dots)^2$

$(2x)^2 + 2(2x)(\frac{x^3}{3}) + 2(2x)(\frac{x^5}{60}) + (\frac{x^3}{3})^2 + \dots = 4x^2 + \frac{4x^4}{3} + \frac{x^6}{15} + \frac{x^6}{9} + \dots = 4x^2 + \frac{4x^4}{3} + \frac{8x^6}{45} + \dots$

あるいは、

$(e^x - e^{-x})^2 = e^{2x} - 2 + e^{-2x}$

$e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^n}{n!}$

$e^{-2x} = 1 - 2x + \frac{(2x)^2}{2!} - \frac{(2x)^3}{3!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2x)^n}{n!}$

$e^{2x} + e^{-2x} = 2 + \frac{2(2x)^2}{2!} + \frac{2(2x)^4}{4!} + \dots = 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^{2n}}{(2n)!}$

$e^{2x} - 2 + e^{-2x} = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2x)^{2n}}{(2n)!} = 2 (\frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} + \frac{(2x)^6}{6!} + \dots) = 2(\frac{4x^2}{2} + \frac{16x^4}{24} + \frac{64x^6}{720} + \dots) = 4x^2 + \frac{4}{3}x^4 + \frac{8}{45} x^6 + \dots$

(3) $\cos^2 x$ の場合:

$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

$\cos 2x = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \dots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(2x)^{2n}}{(2n)!}$

$\frac{1+\cos 2x}{2} = \frac{1 + \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(2x)^{2n}}{(2n)!}}{2} = \frac{1 + 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \dots}{2} = 1 - \frac{4x^2}{2 \cdot 2} + \frac{16x^4}{2 \cdot 24} - \dots = 1 - x^2 + \frac{x^4}{3} - \dots$

$\cos^2 x = 1 - x^2 + \frac{1}{3}x^4 - \frac{2}{45}x^6 + \dots$

(4) $\ln \frac{1+x}{1-x}$ の場合:

$\ln \frac{1+x}{1-x} = \ln(1+x) - \ln(1-x)$

$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}$

$\ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \dots = - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$

$\ln(1+x) - \ln(1-x) = (x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots) - (-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \dots) = 2x + \frac{2x^3}{3} + \frac{2x^5}{5} + \dots = 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{4+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{4^{n+1}}$

(2) $(e^x - e^{-x})^2 = 4x^2 + \frac{4}{3}x^4 + \frac{8}{45} x^6 + \dots$

(3) $\cos^2 x = 1 - x^2 + \frac{1}{3}x^4 - \frac{2}{45}x^6 + \dots$

(4) $\ln \frac{1+x}{1-x} = 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$