以下の定積分を計算します。 (1) $\int_{-2}^{3} dx$ (2) $\int_{3}^{-1} xdx$ (3) $\int_{1}^{2} (3x^2 - 2x + 3) dx$ (4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin x dx$ (5) $\int_{1}^{3} e^x dx$ (6) $\int_{1}^{e^3} \frac{3}{x} dx$ (7) $\int_{-5}^{5} |x| dx$

はい、承知いたしました。与えられた積分問題を解いていきます。

1. 問題の内容

以下の定積分を計算します。

(1) $\int_{-2}^{3} dx$

(2) $\int_{3}^{-1} xdx$

(3) $\int_{1}^{2} (3x^2 - 2x + 3) dx$

(4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin x dx$

(5) $\int_{1}^{3} e^x dx$

(6) $\int_{1}^{e^3} \frac{3}{x} dx$

(7) $\int_{-5}^{5} |x| dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{-2}^{3} dx$

$x$を$-2$から$3$まで積分します。

$\int dx = x$なので、

$[x]_{-2}^{3} = 3 - (-2) = 3 + 2 = 5$

(2) $\int_{3}^{-1} xdx$

$x$を$3$から$-1$まで積分します。

$\int x dx = \frac{x^2}{2}$なので、

$[\frac{x^2}{2}]_{3}^{-1} = \frac{(-1)^2}{2} - \frac{(3)^2}{2} = \frac{1}{2} - \frac{9}{2} = -\frac{8}{2} = -4$

(3) $\int_{1}^{2} (3x^2 - 2x + 3) dx$

$(3x^2 - 2x + 3)$を$1$から$2$まで積分します。

$\int (3x^2 - 2x + 3) dx = x^3 - x^2 + 3x$なので、

$[x^3 - x^2 + 3x]_{1}^{2} = (2^3 - 2^2 + 3(2)) - (1^3 - 1^2 + 3(1)) = (8 - 4 + 6) - (1 - 1 + 3) = 10 - 3 = 7$

(4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin x dx$

$\sin x$を$0$から$\frac{\pi}{6}$まで積分します。

$\int \sin x dx = -\cos x$なので、

$[-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = -\cos(\frac{\pi}{6}) - (-\cos(0)) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

(5) $\int_{1}^{3} e^x dx$

$e^x$を$1$から$3$まで積分します。

$\int e^x dx = e^x$なので、

$[e^x]_{1}^{3} = e^3 - e^1 = e^3 - e$

(6) $\int_{1}^{e^3} \frac{3}{x} dx$

$\frac{3}{x}$を$1$から$e^3$まで積分します。

$\int \frac{3}{x} dx = 3 \ln|x|$なので、

$[3 \ln|x|]_{1}^{e^3} = 3 \ln(e^3) - 3 \ln(1) = 3(3) - 3(0) = 9$

(7) $\int_{-5}^{5} |x| dx$

$|x|$を$-5$から$5$まで積分します。

$|x|$は、$x<0$で$-x$, $x \ge 0$で$x$と定義されるので、

$\int_{-5}^{5} |x| dx = \int_{-5}^{0} -x dx + \int_{0}^{5} x dx = [-\frac{x^2}{2}]_{-5}^{0} + [\frac{x^2}{2}]_{0}^{5} = (0 - (-\frac{25}{2})) + (\frac{25}{2} - 0) = \frac{25}{2} + \frac{25}{2} = 25$

3. 最終的な答え

(1) 5

(2) -4

(3) 7

(4) $1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

(5) $e^3 - e$

(6) 9

(7) 25