以下の5つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 1} \frac{2x - 2}{\log x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin^{-1}x}{x^3}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{3^x}{x^2}$ (4) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x$ (5) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(\cos x)}{x^2}$

1. 問題の内容

以下の5つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{2x - 2}{\log x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin^{-1}x}{x^3}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{3^x}{x^2}$

(4) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(\cos x)}{x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{2x - 2}{\log x}$

$x = 1 + h$ とおくと、$x \to 1$ のとき $h \to 0$ なので、

$\lim_{h \to 0} \frac{2(1+h) - 2}{\log (1+h)} = \lim_{h \to 0} \frac{2h}{\log(1+h)} = \lim_{h \to 0} \frac{2}{\frac{\log(1+h)}{h}}$

ここで、$\lim_{h \to 0} \frac{\log(1+h)}{h} = 1$ なので、

$\lim_{x \to 1} \frac{2x - 2}{\log x} = \frac{2}{1} = 2$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin^{-1}x}{x^3}$

$\sin^{-1} x$ のマクローリン展開は $\sin^{-1} x = x + \frac{1}{6}x^3 + O(x^5)$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{x - (x + \frac{1}{6}x^3 + O(x^5))}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{6}x^3 + O(x^5)}{x^3} = -\frac{1}{6}$

ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin^{-1}x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-x^2} - 1}{3x^2 \sqrt{1-x^2}} = \lim_{x \to 0} \frac{(1-x^2) - 1}{3x^2 \sqrt{1-x^2}(\sqrt{1-x^2} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{-x^2}{3x^2 \sqrt{1-x^2}(\sqrt{1-x^2} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{-1}{3 \sqrt{1-x^2}(\sqrt{1-x^2} + 1)} = \frac{-1}{3(1)(1+1)} = -\frac{1}{6}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{3^x}{x^2}$

$x$ が正の方向から0に近づくとき、$x \to +0$のとき、$\lim_{x \to +0} \frac{3^x}{x^2} = +\infty$.

$x$ が負の方向から0に近づくとき、$x \to -0$のとき、$\lim_{x \to -0} \frac{3^x}{x^2} = +\infty$.

したがって、$\lim_{x \to 0} \frac{3^x}{x^2} = +\infty$.

(4) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x$

$t = x - \frac{\pi}{2}$ とおくと、$x \to \frac{\pi}{2}$ のとき $t \to 0$ なので、

$\lim_{t \to 0} t \tan(t + \frac{\pi}{2}) = \lim_{t \to 0} t (-\cot t) = \lim_{t \to 0} -t \frac{\cos t}{\sin t} = \lim_{t \to 0} -\cos t \frac{t}{\sin t}$

ここで、$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$ なので、$\lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin t} = 1$

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x = -1 \cdot 1 = -1$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(\cos x)}{x^2}$

ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(\cos x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{-\sin x}{\cos x}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{2x \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \cos x}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ であり、$\lim_{x \to 0} \cos x = 1$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(\cos x)}{x^2} = -1 \cdot \frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}$

あるいは、$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$ と $\log(1+y) = y + O(y^2)$ より、

$\log(\cos x) = \log(1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)) = -\frac{x^2}{2} + O(x^4)$

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(\cos x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2} + O(x^4)}{x^2} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) -1/6

(3) $+\infty$

(4) -1

(5) -1/2