与えられた2つの関数について、マクローリン展開を求める問題です。 (1) $f(x) = \frac{1}{4 + x^2}$ (2) $g(x) = (e^x - e^{-x})^2$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数について、マクローリン展開を求める問題です。

(1) $f(x) = \frac{1}{4 + x^2}$

(2) $g(x) = (e^x - e^{-x})^2$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \frac{1}{4 + x^2}$ のマクローリン展開

$f(x)$ は次のように変形できます。

$f(x) = \frac{1}{4(1 + \frac{x^2}{4})} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 + \frac{x^2}{4}}$

$\frac{1}{1+x}$ のマクローリン展開は $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$ です。

したがって、$\frac{1}{1 + \frac{x^2}{4}} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{x^2}{4}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{4^n}$

ゆえに、$f(x) = \frac{1}{4} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{4^n} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{4^{n+1}}$

(2) $g(x) = (e^x - e^{-x})^2$ のマクローリン展開

まず、$g(x)$ を展開します。

$g(x) = (e^x - e^{-x})^2 = e^{2x} - 2e^x e^{-x} + e^{-2x} = e^{2x} - 2 + e^{-2x}$

$e^x$ のマクローリン展開は $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ です。

$e^{2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n x^n}{n!}$

$e^{-2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n x^n}{n!}$

よって、$g(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n x^n}{n!} - 2 + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n x^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n x^n + (-2)^n x^n}{n!} - 2$

$= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2^n + (-2)^n)x^n}{n!} - 2$

$n$ が奇数のとき、$2^n + (-2)^n = 0$

$n$ が偶数のとき、$2^n + (-2)^n = 2 \cdot 2^n = 2^{n+1}$

$n = 2k$ とすると、

$g(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^{2k+1} x^{2k}}{(2k)!} - 2 = 2\sum_{k=0}^{\infty} \frac{4^k x^{2k}}{(2k)!} - 2$

$k=0$の項は $2\cdot \frac{4^0 x^0}{0!} = 2$なので、

$g(x) = 2\sum_{k=1}^{\infty} \frac{4^k x^{2k}}{(2k)!} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{2k+1} x^{2k}}{(2k)!}$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{4^{n+1}}$

(2) $g(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{2k+1} x^{2k}}{(2k)!}$

あるいは

(2) $g(x) = 4x^2 + \frac{4x^4}{3} + \frac{8x^6}{45} + \dots$