以下の6つの関数を微分します。 (1) $y = \sin^2 x$ (2) $y = \cos(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6})$ (3) $y = \tan 3x$ (4) $y = \sqrt{1 + \sin x}$ (5) $y = \frac{1}{1 + \cos x}$ (6) $y = \tan^2 2x$

はい、承知いたしました。画像にある問題について、微分を計算します。

1. 問題の内容

以下の6つの関数を微分します。

(1) $y = \sin^2 x$

(2) $y = \cos(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6})$

(3) $y = \tan 3x$

(4) $y = \sqrt{1 + \sin x}$

(5) $y = \frac{1}{1 + \cos x}$

(6) $y = \tan^2 2x$

2. 解き方の手順

各関数について、微分を計算します。

(1) $y = \sin^2 x$ の微分

合成関数の微分公式を用います。

$y = u^2$, $u = \sin x$ とすると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 2u \cdot \cos x = 2 \sin x \cos x = \sin 2x$

(2) $y = \cos(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6})$ の微分

合成関数の微分公式を用います。

$y = \cos u$, $u = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}$ とすると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\sin u \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \sin (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6})$

(3) $y = \tan 3x$ の微分

合成関数の微分公式を用います。

$y = \tan u$, $u = 3x$ とすると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{\cos^2 u} \cdot 3 = \frac{3}{\cos^2 3x} = 3 \sec^2 3x$

(4) $y = \sqrt{1 + \sin x}$ の微分

合成関数の微分公式を用います。

$y = \sqrt{u}$, $u = 1 + \sin x$ とすると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{2\sqrt{1 + \sin x}}$

(5) $y = \frac{1}{1 + \cos x}$ の微分

$y = (1 + \cos x)^{-1}$ と変形して合成関数の微分公式を用います。

$y = u^{-1}$, $u = 1 + \cos x$ とすると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -u^{-2} \cdot (-\sin x) = \frac{\sin x}{(1 + \cos x)^2}$

(6) $y = \tan^2 2x$ の微分

合成関数の微分公式を用います。

$y = u^2$, $u = \tan 2x$ とすると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 2u \cdot \frac{1}{\cos^2 2x} \cdot 2 = 4 \tan 2x \sec^2 2x = \frac{4 \tan 2x}{\cos^2 2x}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \sin 2x$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2} \sin (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6})$

(3) $\frac{dy}{dx} = 3 \sec^2 3x$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{2\sqrt{1 + \sin x}}$

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{\sin x}{(1 + \cos x)^2}$

(6) $\frac{dy}{dx} = 4 \tan 2x \sec^2 2x$