与えられた関数 $\frac{x}{e^x - 1}$ のマクローリン展開におけるベルヌーイ数 $B_n$ について、以下の問いに答えます。 (1) $B_0, B_1, B_2, B_3$ を求めます。 (2) $\frac{x}{e^x - 1}$ のマクローリン展開を $x^3$ の項まで求めます。 (3) $\sum_{n=0}^{m-1} {}_m C_n B_n$ (ただし、$m \geq 1$) を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $\frac{x}{e^x - 1}$ のマクローリン展開におけるベルヌーイ数 $B_n$ について、以下の問いに答えます。

(1) $B_0, B_1, B_2, B_3$ を求めます。

(2) $\frac{x}{e^x - 1}$ のマクローリン展開を $x^3$ の項まで求めます。

(3) $\sum_{n=0}^{m-1} {}_m C_n B_n$ (ただし、$m \geq 1$) を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $B_0, B_1, B_2, B_3$ を求める

与えられた式 $\frac{x}{e^x - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n$ を利用します。

$e^x - 1 = x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$ であるから、

$x = (e^x - 1) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n = (x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \dots) (B_0 + B_1 x + \frac{B_2}{2} x^2 + \frac{B_3}{6} x^3 + \dots)$

この式を展開して、各次数の項の係数を比較します。

$x^0$ の項: $0 = 0$

$x^1$ の項: $1 = B_0$

$x^2$ の項: $0 = B_1 + \frac{B_0}{2} = B_1 + \frac{1}{2} \implies B_1 = -\frac{1}{2}$

$x^3$ の項: $0 = \frac{B_2}{2} + \frac{B_1}{2} + \frac{B_0}{6} = \frac{B_2}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{B_2}{2} - \frac{1}{12} \implies B_2 = \frac{1}{6}$

$x^4$ の項: $0 = \frac{B_3}{6} + \frac{B_2}{4} + \frac{B_1}{6} + \frac{B_0}{24} = \frac{B_3}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{12} + \frac{1}{24} = \frac{B_3}{6} \implies B_3 = 0$

(2) $\frac{x}{e^x - 1}$ のマクローリン展開を $x^3$ の項まで求める

(1) で求めた $B_0, B_1, B_2, B_3$ を用いて、マクローリン展開を計算します。

$\frac{x}{e^x - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n = B_0 + B_1 x + \frac{B_2}{2!} x^2 + \frac{B_3}{3!} x^3 + \dots$

$\frac{x}{e^x - 1} = 1 - \frac{1}{2} x + \frac{1}{6} \frac{x^2}{2} + 0 \frac{x^3}{6} + \dots = 1 - \frac{1}{2} x + \frac{1}{12} x^2 + 0x^3+ \dots$

(3) $\sum_{n=0}^{m-1} {}_m C_n B_n$ を求める

$m \geq 1$ に対して、$\sum_{n=0}^{m-1} {}_m C_n B_n$ を計算します。

$\frac{x}{e^x - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n$

$x = (e^x - 1) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n$

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

$e^x \frac{x}{e^x - 1} = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{x^m}{m!} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n = \sum_{m=0}^{\infty} (\sum_{n=0}^{m} {}_m C_n B_n) \frac{x^m}{m!}$

$\frac{xe^x}{e^x - 1} - \frac{x}{e^x - 1} = \frac{x(e^x - 1)}{e^x - 1} = x$

よって、

$\sum_{m=0}^{\infty} (\sum_{n=0}^{m} {}_m C_n B_n) \frac{x^m}{m!} - \sum_{m=0}^{\infty} \frac{B_m x^m}{m!} = x$

$\sum_{m=0}^{\infty} (\sum_{n=0}^{m} {}_m C_n B_n) \frac{x^m}{m!} = x + \sum_{m=0}^{\infty} \frac{B_m x^m}{m!}$

したがって、$m=1$ のとき、$\sum_{n=0}^{0} {}_1 C_n B_n = B_0 = 1$ 。$1 = 1$が成り立つ。

$m>1$のとき、$\sum_{n=0}^{m-1} {}_m C_n B_n = 0$ 。

3. 最終的な答え

(1) $B_0 = 1$, $B_1 = -\frac{1}{2}$, $B_2 = \frac{1}{6}$, $B_3 = 0$

(2) $\frac{x}{e^x - 1} = 1 - \frac{1}{2} x + \frac{1}{12} x^2 + O(x^4)$

(3) $\sum_{n=0}^{m-1} {}_m C_n B_n = 0$ ($m \ge 2$), 1 ($m=1$)