与えられたベルヌーイ数の定義式 $\frac{x}{e^x-1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!}x^n$ を用いて、以下の問いに答える。 (1) $B_0$, $B_1$, $B_2$, $B_3$を求める。 (2) $\frac{x}{e^x-1}$のマクローリン展開を$x^3$の項まで求める。 (3) $\sum_{n=0}^{m-1} {}_m C_n B_n$ ($m \geq 1$) を求める。

1. 問題の内容

与えられたベルヌーイ数の定義式

$\frac{x}{e^x-1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!}x^n$

を用いて、以下の問いに答える。

(1) $B_0$, $B_1$, $B_2$, $B_3$を求める。

(2) $\frac{x}{e^x-1}$のマクローリン展開を$x^3$の項まで求める。

(3) $\sum_{n=0}^{m-1} {}_m C_n B_n$ ($m \geq 1$) を求める。

2. 解き方の手順

(1) $e^x$のマクローリン展開は、

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

である。したがって、

$\frac{x}{e^x-1} = \frac{x}{(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots) - 1} = \frac{x}{x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots} = \frac{1}{1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{6} + \cdots}$

$\frac{x}{e^x-1} = B_0 + B_1 x + \frac{B_2}{2!} x^2 + \frac{B_3}{3!} x^3 + \cdots$

と仮定する。すると、

$1 = (1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{6} + \cdots)(B_0 + B_1 x + \frac{B_2}{2!} x^2 + \frac{B_3}{3!} x^3 + \cdots)$

$= B_0 + (B_1 + \frac{1}{2} B_0)x + (\frac{B_2}{2} + \frac{1}{2} B_1 + \frac{1}{6} B_0) x^2 + (\frac{B_3}{6} + \frac{1}{2} \frac{B_2}{2} + \frac{1}{6} B_1 + \cdots) x^3 + \cdots$

したがって、

$B_0 = 1$

$B_1 + \frac{1}{2} B_0 = 0 \Rightarrow B_1 = -\frac{1}{2}$

$\frac{B_2}{2} + \frac{1}{2} B_1 + \frac{1}{6} B_0 = 0 \Rightarrow \frac{B_2}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \Rightarrow B_2 = \frac{1}{6}$

$\frac{B_3}{6} + \frac{1}{4} B_2 + \frac{1}{6} B_1 = 0 \Rightarrow \frac{B_3}{6} = -\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{24} + \frac{1}{12} = \frac{1}{24} \Rightarrow B_3 = 0$

(2) (1)の結果より、

$\frac{x}{e^x-1} = 1 - \frac{1}{2} x + \frac{1}{12} x^2 + 0x^3 + \cdots = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{12} + O(x^4)$

(3) $\sum_{n=0}^{m-1} {}_m C_n B_n$ ($m \geq 1$) について

$m=1$ のとき、$\sum_{n=0}^{0} {}_1 C_n B_n = {}_1 C_0 B_0 = 1 \cdot 1 = 1$

$m=2$ のとき、$\sum_{n=0}^{1} {}_2 C_n B_n = {}_2 C_0 B_0 + {}_2 C_1 B_1 = 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 - 1 = 0$

$m=3$ のとき、$\sum_{n=0}^{2} {}_3 C_n B_n = {}_3 C_0 B_0 + {}_3 C_1 B_1 + {}_3 C_2 B_2 = 1 \cdot 1 + 3 \cdot (-\frac{1}{2}) + 3 \cdot \frac{1}{6} = 1 - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 0$

$m=4$ のとき、$\sum_{n=0}^{3} {}_4 C_n B_n = {}_4 C_0 B_0 + {}_4 C_1 B_1 + {}_4 C_2 B_2 + {}_4 C_3 B_3 = 1 \cdot 1 + 4 \cdot (-\frac{1}{2}) + 6 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot 0 = 1 - 2 + 1 + 0 = 0$

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!}x^n = \frac{x}{e^x-1}$

$e^x f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!}x^n = \sum_{m=0}^{\infty} (\sum_{n=0}^{m} \frac{1}{(m-n)!} \frac{B_n}{n!}) x^m = \sum_{m=0}^{\infty} (\sum_{n=0}^{m} {}_m C_n B_n) \frac{x^m}{m!}$

$e^x \frac{x}{e^x-1} = \frac{xe^x}{e^x-1} = \frac{x(e^x-1)+x}{e^x-1} = x + \frac{x}{e^x-1} = x + \sum_{m=0}^{\infty} \frac{B_m}{m!}x^m$

$m=0: \sum_{n=0}^{0} {}_0 C_n B_n = B_0 = 1$

$x^0$ の係数：$\sum_{n=0}^{0} {}_0 C_n B_n \frac{x^0}{0!} = B_0 = 1$

$m \ge 2$ の時、 $\sum_{n=0}^{m} {}_m C_n B_n = B_m$ の係数は0。

従って、$\sum_{n=0}^{m-1} {}_m C_n B_n = -B_m + \sum_{n=0}^{m} {}_m C_n B_n = -B_m + 0 = 0$ （$m \ge 2$）

$m=1$ のとき $\sum_{n=0}^{0} {}_1 C_n B_n = B_0 = 1$

3. 最終的な答え

(1) $B_0 = 1$, $B_1 = -\frac{1}{2}$, $B_2 = \frac{1}{6}$, $B_3 = 0$

(2) $\frac{x}{e^x-1} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{12} + O(x^4)$

(3)

$\sum_{n=0}^{m-1} {}_m C_n B_n = \begin{cases} 1 & m=1 \\ 0 & m \geq 2 \end{cases}$