与えられた3つの関数 $f(x, y)$ に対して、点 $(0, 0)$ における偏微分係数 $f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を、偏微分の定義に従って求める。

1. 問題の内容

与えられた3つの関数 $f(x, y)$ に対して、点 $(0, 0)$ における偏微分係数 $f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を、偏微分の定義に従って求める。

2. 解き方の手順

偏微分の定義は以下の通りです。

$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0 + h, 0) - f(0, 0)}{h}$

$f_y(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0, 0 + h) - f(0, 0)}{h}$

それぞれの関数に対して、上記の定義を用いて偏微分係数を計算する。

1) $f(x, y) = (x + y)^2$

$f(0, 0) = (0 + 0)^2 = 0$

$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{(h + 0)^2 - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2}{h} = \lim_{h \to 0} h = 0$

$f_y(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{(0 + h)^2 - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2}{h} = \lim_{h \to 0} h = 0$

2) $f(x, y) = x^3 + xy + y^2$

$f(0, 0) = 0^3 + 0 \cdot 0 + 0^2 = 0$

$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{h^3 + h \cdot 0 + 0^2 - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^3}{h} = \lim_{h \to 0} h^2 = 0$

$f_y(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{0^3 + 0 \cdot h + h^2 - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2}{h} = \lim_{h \to 0} h = 0$

3) $f(x, y) = \sin(x + 2y)$

$f(0, 0) = \sin(0 + 2 \cdot 0) = \sin(0) = 0$

$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h + 2 \cdot 0) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h} = 1$

$f_y(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(0 + 2h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(2h)}{h} = \lim_{h \to 0} 2 \cdot \frac{\sin(2h)}{2h} = 2 \cdot 1 = 2$

3. 最終的な答え

1) $f_x(0, 0) = 0$, $f_y(0, 0) = 0$

2) $f_x(0, 0) = 0$, $f_y(0, 0) = 0$

3) $f_x(0, 0) = 1$, $f_y(0, 0) = 2$