$x \to 0$ のとき、以下の3つの式について、空欄に適切な数式を埋める問題です。 (1) $\frac{x - \sin x}{x^3} = \fbox{} + o(x)$ (2) $\log \frac{1+x}{1-x} = \fbox{} + o(x^6)$ (3) $\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x} = \fbox{} + o(1)$

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順番に解答します。

1. 問題の内容

$x \to 0$ のとき、以下の3つの式について、空欄に適切な数式を埋める問題です。

(1) $\frac{x - \sin x}{x^3} = \fbox{} + o(x)$

(2) $\log \frac{1+x}{1-x} = \fbox{} + o(x^6)$

(3) $\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x} = \fbox{} + o(1)$

2. 解き方の手順

(1)

$\sin x$ のマクローリン展開を利用します。

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$

これより、

$x - \sin x = x - (x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots) = \frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120} + \cdots$

$\frac{x - \sin x}{x^3} = \frac{1}{6} - \frac{x^2}{120} + \cdots$

$x \to 0$ のとき、$\frac{x - \sin x}{x^3} = \frac{1}{6} + o(x^2)$となります。

したがって、 $\frac{x - \sin x}{x^3} = \frac{1}{6} + o(x)$.

(2)

$\log(1+x)$のマクローリン展開を利用します。

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^6}{6} + \cdots$

$\log(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \frac{x^5}{5} - \frac{x^6}{6} - \cdots$

$\log \frac{1+x}{1-x} = \log(1+x) - \log(1-x) = (x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots) - (-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \cdots) = 2x + \frac{2x^3}{3} + \frac{2x^5}{5} + \cdots$

したがって、$\log \frac{1+x}{1-x} = 2x + \frac{2}{3}x^3 + \frac{2}{5}x^5 + o(x^6)$.

(3)

$(1+x)^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{1}{x} \log(1+x)}$ と変形します。

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$

$\frac{1}{x} \log(1+x) = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \cdots$

$(1+x)^{\frac{1}{x}} = e^{1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \cdots} = e \cdot e^{-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \cdots}$

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots$ を利用して、

$e^{-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \cdots} = 1 + (-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \cdots) + \frac{1}{2}(-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \cdots)^2 + \cdots = 1 - \frac{x}{2} + \frac{11}{24}x^2 + \cdots$

$(1+x)^{\frac{1}{x}} = e(1 - \frac{x}{2} + \frac{11}{24}x^2 + \cdots)$

$(1+x)^{\frac{1}{x}} - e = e(-\frac{x}{2} + \frac{11}{24}x^2 + \cdots)$

$\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x} = e(-\frac{1}{2} + \frac{11}{24}x + \cdots)$

したがって、$\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x} = -\frac{e}{2} + o(1)$.

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{6}$

(2) $2x + \frac{2}{3}x^3 + \frac{2}{5}x^5$

(3) $-\frac{e}{2}$