ベルヌーイ数 $B_n$ が以下の式で定義されるとき、 $\frac{x}{e^x - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n$ (1) $B_0, B_1, B_2, B_3$ を求める。 (2) $\frac{x}{e^x - 1}$ のマクローリン展開を $x^3$ の項まで求める。 (3) $\sum_{n=0}^{m-1} {}_m C_n B_n$ ($m \ge 1$) を求める。

1. 問題の内容

ベルヌーイ数 $B_n$ が以下の式で定義されるとき、

$\frac{x}{e^x - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n$

(1) $B_0, B_1, B_2, B_3$ を求める。

(2) $\frac{x}{e^x - 1}$ のマクローリン展開を $x^3$ の項まで求める。

(3) $\sum_{n=0}^{m-1} {}_m C_n B_n$ ($m \ge 1$) を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$e^x$ をマクローリン展開します。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$

よって、$e^x - 1 = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \dots$

$\frac{x}{e^x - 1} = \frac{x}{x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \dots} = \frac{1}{1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{6} + \frac{x^3}{24} + \dots}$

この式を、$\frac{x}{e^x - 1} = B_0 + \frac{B_1}{1!}x + \frac{B_2}{2!}x^2 + \frac{B_3}{3!}x^3 + \dots$ と比較して、係数を決定します。

$\frac{1}{1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{6} + \frac{x^3}{24} + \dots} = B_0 + B_1 x + \frac{B_2}{2} x^2 + \frac{B_3}{6} x^3 + \dots$

両辺に $1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{6} + \frac{x^3}{24} + \dots$ を掛けると、

$1 = (B_0 + B_1 x + \frac{B_2}{2} x^2 + \frac{B_3}{6} x^3 + \dots)(1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{6} + \frac{x^3}{24} + \dots)$

$1 = B_0 + (B_1 + \frac{B_0}{2})x + (\frac{B_2}{2} + \frac{B_1}{2} + \frac{B_0}{6})x^2 + (\frac{B_3}{6} + \frac{B_2}{4} + \frac{B_1}{6} + \frac{B_0}{24})x^3 + \dots$

係数を比較すると、

$B_0 = 1$

$B_1 + \frac{B_0}{2} = 0 \Rightarrow B_1 + \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow B_1 = -\frac{1}{2}$

$\frac{B_2}{2} + \frac{B_1}{2} + \frac{B_0}{6} = 0 \Rightarrow \frac{B_2}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = 0 \Rightarrow \frac{B_2}{2} = \frac{1}{12} \Rightarrow B_2 = \frac{1}{6}$

$\frac{B_3}{6} + \frac{B_2}{4} + \frac{B_1}{6} + \frac{B_0}{24} = 0 \Rightarrow \frac{B_3}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{12} + \frac{1}{24} = 0 \Rightarrow \frac{B_3}{6} = 0 \Rightarrow B_3 = 0$

(2) (1)の結果を利用して、

$\frac{x}{e^x - 1} = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{6} \frac{x^2}{2!} + 0 \frac{x^3}{3!} + \dots = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{12} x^2 + 0 x^3 + \dots$

$\frac{x}{e^x - 1} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{12} + O(x^4)$

(3) $\sum_{n=0}^{m-1} {}_m C_n B_n$ を求める。

これはベルヌーイ数の漸化式に関係する。

$\sum_{n=0}^{m-1} {}_m C_n B_n = 0$ ($m \ge 2$)

$\sum_{n=0}^{0} {}_1 C_n B_n = {}_1 C_0 B_0 = 1$

$\sum_{n=0}^{m-1} {}_m C_n B_n = 1 - m$ for m >= 1。

3. 最終的な答え

(1) $B_0 = 1, B_1 = -\frac{1}{2}, B_2 = \frac{1}{6}, B_3 = 0$

(2) $\frac{x}{e^x - 1} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{12} + O(x^4)$

(3) $\sum_{n=0}^{m-1} {}_m C_n B_n = 1 - m$ ($m \ge 1$)