与えられた3つの関数 $f(x, y)$ に対して、点 $(0, 0)$ における偏微分係数 $f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を定義に従って求める。 ここで、偏微分の定義は以下の通りである。 $f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h}$ $f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0, k) - f(0, 0)}{k}$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数 $f(x, y)$ に対して、点 $(0, 0)$ における偏微分係数 $f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を定義に従って求める。

ここで、偏微分の定義は以下の通りである。

$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h}$

$f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0, k) - f(0, 0)}{k}$

2. 解き方の手順

各関数について、$f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を上記の定義を用いて計算する。

(1) $f(x, y) = (x + y)^2$

$f(0, 0) = (0 + 0)^2 = 0$

$f(h, 0) = (h + 0)^2 = h^2$

$f(0, k) = (0 + k)^2 = k^2$

$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h = 0$

$f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{k^2 - 0}{k} = \lim_{k \to 0} k = 0$

(2) $f(x, y) = x^3 + xy + y^2$

$f(0, 0) = 0^3 + 0 \cdot 0 + 0^2 = 0$

$f(h, 0) = h^3 + h \cdot 0 + 0^2 = h^3$

$f(0, k) = 0^3 + 0 \cdot k + k^2 = k^2$

$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{h^3 - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h^2 = 0$

$f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{k^2 - 0}{k} = \lim_{k \to 0} k = 0$

(3) $f(x, y) = \sin(x + 2y)$

$f(0, 0) = \sin(0 + 2 \cdot 0) = \sin(0) = 0$

$f(h, 0) = \sin(h + 2 \cdot 0) = \sin(h)$

$f(0, k) = \sin(0 + 2 \cdot k) = \sin(2k)$

$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h} = 1$

$f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{\sin(2k) - 0}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{\sin(2k)}{k} = \lim_{k \to 0} 2\frac{\sin(2k)}{2k} = 2$

3. 最終的な答え

(1) $f(x, y) = (x + y)^2$: $f_x(0, 0) = 0$, $f_y(0, 0) = 0$

(2) $f(x, y) = x^3 + xy + y^2$: $f_x(0, 0) = 0$, $f_y(0, 0) = 0$

(3) $f(x, y) = \sin(x + 2y)$: $f_x(0, 0) = 1$, $f_y(0, 0) = 2$