次の3つの関数について、マクローリン展開を $x^4$ の項まで求めよ。 (1) $\frac{1}{x^2 - a^2}$, $|x| < |a|$ (2) $\arctan{x}$, $|x| < 1$ (3) $(1+x)^x$

1. 問題の内容

次の3つの関数について、マクローリン展開を $x^4$ の項まで求めよ。

(1) $\frac{1}{x^2 - a^2}$, $|x| < |a|$

(2) $\arctan{x}$, $|x| < 1$

(3) $(1+x)^x$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \frac{1}{x^2 - a^2}$ のマクローリン展開

$f(x) = \frac{1}{x^2 - a^2} = -\frac{1}{a^2} \cdot \frac{1}{1 - (\frac{x}{a})^2}$

$|x| < |a|$ より $|x/a| < 1$ なので、等比級数の公式 $\frac{1}{1-r} = 1 + r + r^2 + r^3 + \cdots$ が使える。

$f(x) = -\frac{1}{a^2} \left[ 1 + \left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{x}{a}\right)^4 + \cdots \right]$

$f(x) = -\frac{1}{a^2} - \frac{x^2}{a^4} - \frac{x^4}{a^6} - \cdots$

したがって、$x^4$ の項までのマクローリン展開は

$f(x) \approx -\frac{1}{a^2} - \frac{x^2}{a^4} - \frac{x^4}{a^6}$

(2) $g(x) = \arctan{x}$ のマクローリン展開

$g'(x) = \frac{1}{1+x^2}$

$|x| < 1$ より $\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1 - (-x^2)} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots$

$g(x) = \int g'(x) dx = \int (1 - x^2 + x^4 - \cdots) dx = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots + C$

$g(0) = \arctan{0} = 0$ より $C = 0$

したがって、$x^4$ の項までのマクローリン展開は

$g(x) \approx x - \frac{x^3}{3}$

(3) $h(x) = (1+x)^x$ のマクローリン展開

$h(x) = e^{x \ln(1+x)}$

$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$

$x \ln(1+x) = x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{3} - \frac{x^5}{4} + \cdots$

$e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \frac{u^3}{3!} + \cdots$

$h(x) = e^{x \ln(1+x)} = 1 + \left(x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{3}\right) + \frac{1}{2} \left(x^2 - \frac{x^3}{2}\right)^2 + \cdots$

$h(x) = 1 + x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{3} + \frac{1}{2} \left(x^4 - x^5 + \cdots\right)$

$h(x) = 1 + x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{3} + \frac{x^4}{2} + \cdots$

$h(x) = 1 + x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{5x^4}{6} + \cdots$

したがって、$x^4$ の項までのマクローリン展開は

$h(x) \approx 1 + x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{5x^4}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{x^2 - a^2} \approx -\frac{1}{a^2} - \frac{x^2}{a^4} - \frac{x^4}{a^6}$

(2) $\arctan{x} \approx x - \frac{x^3}{3}$

(3) $(1+x)^x \approx 1 + x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{5x^4}{6}$