与えられた式 $\frac{x}{e^x - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!}x^n$ において、以下の問いに答える問題です。 (1) $B_0, B_1, B_2, B_3$ を求めよ。 (2) $\frac{x}{e^x - 1}$ のマクローリン展開を3次の項 ($x^3$の項) まで求めよ。 (3) $\sum_{n=0}^{m-1} {}_mC_n B_n$ ($m \geq 1$) を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた式

$\frac{x}{e^x - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!}x^n$

において、以下の問いに答える問題です。

(1) $B_0, B_1, B_2, B_3$ を求めよ。

(2) $\frac{x}{e^x - 1}$ のマクローリン展開を3次の項 ($x^3$の項) まで求めよ。

(3) $\sum_{n=0}^{m-1} {}_mC_n B_n$ ($m \geq 1$) を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$ を用いて、$\frac{x}{e^x-1}$ を展開し、$x^0, x^1, x^2, x^3$の係数を比較する。

$e^x - 1 = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots$

$\frac{x}{e^x - 1} = \frac{x}{x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots} = \frac{1}{1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{6} + \frac{x^3}{24} + \cdots}$

$\frac{1}{1+u} = 1 - u + u^2 - u^3 + \cdots$ を用いる。

$\frac{x}{e^x - 1} = 1 - (\frac{x}{2} + \frac{x^2}{6} + \frac{x^3}{24} + \cdots) + (\frac{x}{2} + \frac{x^2}{6} + \cdots)^2 - (\frac{x}{2} + \cdots)^3 + \cdots$

$= 1 - \frac{x}{2} - \frac{x^2}{6} - \frac{x^3}{24} + (\frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{6} + \cdots) - \frac{x^3}{8} + \cdots$

$= 1 - \frac{x}{2} + (\frac{1}{4} - \frac{1}{6})x^2 + (-\frac{1}{24} + \frac{1}{6} - \frac{1}{8})x^3 + \cdots$

$= 1 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{12}x^2 + 0x^3 + \cdots$

したがって、

$B_0 = 1, B_1 = -\frac{1}{2}, \frac{B_2}{2!} = \frac{1}{12} \implies B_2 = \frac{1}{6}, \frac{B_3}{3!} = 0 \implies B_3 = 0$.

(2) (1)の結果より、

$\frac{x}{e^x - 1} = B_0 + B_1x + \frac{B_2}{2!}x^2 + \frac{B_3}{3!}x^3 + \cdots = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{12}x^2 + 0x^3 + \cdots$

(3) 与えられた式に $e^x -1$をかけると、

$x = (e^x - 1)\sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n = (\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}) (\sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n)$

$x = \sum_{m=1}^{\infty} \left( \sum_{n=0}^{m-1} \frac{1}{(m-n)!} \frac{B_n}{n!} \right) x^m = \sum_{m=1}^{\infty} \left( \sum_{n=0}^{m-1} \frac{m!}{(m-n)! n!} \frac{B_n}{m!} \right) x^m$

$x = \sum_{m=1}^{\infty} \left( \frac{1}{m!} \sum_{n=0}^{m-1} {}_mC_n B_n \right) x^m$

したがって、$m=1$ のとき、$\frac{1}{1!} \sum_{n=0}^{0} {}_1C_n B_n = 1$ より $B_0 = 1$。

$m \geq 2$ のとき、$\frac{1}{m!} \sum_{n=0}^{m-1} {}_mC_n B_n = 0$ より $\sum_{n=0}^{m-1} {}_mC_n B_n = 0$。

3. 最終的な答え

(1) $B_0 = 1, B_1 = -\frac{1}{2}, B_2 = \frac{1}{6}, B_3 = 0$

(2) $\frac{x}{e^x - 1} = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{12}x^2 + O(x^4)$

(3) $\sum_{n=0}^{m-1} {}_mC_n B_n = 0$ ($m \geq 2$)