問1：x軸上を運動する質点の時刻 $t$ における速度 $v(t) = e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t)$ について、 (i) $0 \le t \le 2\pi$ の範囲で $v(t)$ のグラフの概形を描画し、その考え方を説明する。 (ii) 時刻 $t$ における加速度 $a(t)$ を求める。 (iii) 時刻 $t$ における位置 $x(t)$ を求める。ただし、$t=0$ のとき $x=0$ とする。 (iv) 時刻が経つにつれて、質点の位置がどのように振る舞うかを答える。 問2：地表面付近で空気抵抗を受ける質量 $m$ の物体の落下運動について、重力加速度を $g$、鉛直上向きを $y$ 軸とし、物体に作用する力が重力 $mg$ と速度に比例する粘性抵抗 $bv$ (ただし、$b>0$) であるとする。 (i) 物体が満たす運動方程式を立てる。 (ii) $t=0$ で $v=v_0$ を満たす運動方程式の解 $v(t) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$ を確認する。 (iii) 十分時間が経過したとき、速度が一定の速度に漸近することを示し、終端速度を求める。

1. 問題の内容

問1：x軸上を運動する質点の時刻 $t$ における速度 $v(t) = e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t)$ について、

(i) $0 \le t \le 2\pi$ の範囲で $v(t)$ のグラフの概形を描画し、その考え方を説明する。

(ii) 時刻 $t$ における加速度 $a(t)$ を求める。

(iii) 時刻 $t$ における位置 $x(t)$ を求める。ただし、$t=0$ のとき $x=0$ とする。

(iv) 時刻が経つにつれて、質点の位置がどのように振る舞うかを答える。

問2：地表面付近で空気抵抗を受ける質量 $m$ の物体の落下運動について、重力加速度を $g$、鉛直上向きを $y$ 軸とし、物体に作用する力が重力 $mg$ と速度に比例する粘性抵抗 $bv$ (ただし、$b>0$) であるとする。

(i) 物体が満たす運動方程式を立てる。

(ii) $t=0$ で $v=v_0$ を満たす運動方程式の解 $v(t) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$ を確認する。

(iii) 十分時間が経過したとき、速度が一定の速度に漸近することを示し、終端速度を求める。

2. 解き方の手順

問1：

(i) グラフの概形:

$v(t) = e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t)$ は、指数関数 $e^{-\frac{t}{2}}$ と三角関数 $\sin(2t)$ の積である。

$e^{-\frac{t}{2}}$ は $t$ が増加するにつれて減衰する関数であり、$\sin(2t)$ は周期 $\pi$ の振動をする関数である。

したがって、$v(t)$ は減衰振動をする。

$0 \le t \le 2\pi$ の範囲で、$\sin(2t) = 0$ となるのは $t = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$ のとき。

$v(0) = 0$。

$v(\frac{\pi}{4}) = e^{-\frac{\pi}{8}}$ (正)。

$v(\frac{3\pi}{4}) = -e^{-\frac{3\pi}{8}}$ (負)。

$v(\frac{5\pi}{4}) = e^{-\frac{5\pi}{8}}$ (正)。

$v(\frac{7\pi}{4}) = -e^{-\frac{7\pi}{8}}$ (負)。

$v(2\pi) = 0$。

グラフは $t$ が増加するにつれて振幅が小さくなる振動になる。

(ii) 加速度 $a(t)$：

$a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = \frac{d}{dt}(e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t)) = -\frac{1}{2}e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t) + 2e^{-\frac{t}{2}}\cos(2t) = e^{-\frac{t}{2}}(2\cos(2t) - \frac{1}{2}\sin(2t))$

(iii) 位置 $x(t)$：

$x(t) = \int v(t) dt = \int e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t) dt$。

部分積分を2回行う。

$\int e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t) dt = -\frac{2}{9}e^{-\frac{t}{2}}(\sin(2t) + 4\cos(2t)) + C$。

$x(0) = 0$ なので、$0 = -\frac{2}{9}(0 + 4) + C$。

$C = \frac{8}{9}$。

$x(t) = -\frac{2}{9}e^{-\frac{t}{2}}(\sin(2t) + 4\cos(2t)) + \frac{8}{9}$

(iv) 時刻が経つにつれて：

$t \to \infty$ のとき、$e^{-\frac{t}{2}} \to 0$ なので、

$\lim_{t \to \infty} x(t) = \frac{8}{9}$。

質点の位置は $\frac{8}{9}$ に近づく。

問2：

(i) 運動方程式：

$m\frac{dv}{dt} = -mg - bv$

(ii) 解の確認：

$v(t) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$

$\frac{dv}{dt} = (v_0 - \frac{mg}{b})(-\frac{b}{m})e^{-\frac{b}{m}t} = -\frac{b}{m}(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t}$

$m\frac{dv}{dt} = -b(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} = -b(v(t) - \frac{mg}{b})$

$m\frac{dv}{dt} = -bv(t) + mg$

$m\frac{dv}{dt} + bv(t) = mg$

$m\frac{dv}{dt} = -bv - mg$

これは運動方程式に一致する。

$t=0$ のとき、$v(0) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^0 + \frac{mg}{b} = v_0 - \frac{mg}{b} + \frac{mg}{b} = v_0$ となり、初期条件を満たす。

(iii) 終端速度：

$t \to \infty$ のとき、$e^{-\frac{b}{m}t} \to 0$ なので、

$\lim_{t \to \infty} v(t) = \frac{mg}{b}$

したがって、終端速度は $\frac{mg}{b}$ である。

3. 最終的な答え

問1：

(i) グラフの概形：減衰振動。説明は上記参照。

(ii) 加速度：$a(t) = e^{-\frac{t}{2}}(2\cos(2t) - \frac{1}{2}\sin(2t))$

(iii) 位置：$x(t) = -\frac{2}{9}e^{-\frac{t}{2}}(\sin(2t) + 4\cos(2t)) + \frac{8}{9}$

(iv) 質点の位置：$\frac{8}{9}$ に近づく。

問2：

(i) 運動方程式：$m\frac{dv}{dt} = -mg - bv$

(ii) 解の確認：上記参照。

(iii) 終端速度：$\frac{mg}{b}$