半径2の円周上を運動する質点A, Bについて、それぞれの時刻 $t$ における位置ベクトルが与えられています。 $r^A(t) = 2(\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})i + \sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})j)$ $r^B(t) = 2(\cos(\frac{\pi t^2}{6})i + \sin(\frac{\pi t^2}{6})j)$ これらの運動について、軌跡の描写、角速度、周期、速度、加速度などを求め、考察する問題です。

1. 問題の内容

半径2の円周上を運動する質点A, Bについて、それぞれの時刻 $t$ における位置ベクトルが与えられています。

$r^A(t) = 2(\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})i + \sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})j)$

$r^B(t) = 2(\cos(\frac{\pi t^2}{6})i + \sin(\frac{\pi t^2}{6})j)$

これらの運動について、軌跡の描写、角速度、周期、速度、加速度などを求め、考察する問題です。

2. 解き方の手順

(i) $0 \leq t \leq 3$ におけるA, Bの軌跡を描き、$t = 0, 1, 2, 3$ における質点の位置に印をつけます。

$r^A(0) = 2(\cos(-\frac{\pi}{6})i + \sin(-\frac{\pi}{6})j) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{1}{2}j) = (\sqrt{3}, -1)$

$r^A(1) = 2(\cos(\frac{\pi}{6})i + \sin(\frac{\pi}{6})j) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{1}{2}j) = (\sqrt{3}, 1)$

$r^A(2) = 2(\cos(\frac{\pi}{2})i + \sin(\frac{\pi}{2})j) = 2(0i + 1j) = (0, 2)$

$r^A(3) = 2(\cos(\frac{5\pi}{6})i + \sin(\frac{5\pi}{6})j) = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{1}{2}j) = (-\sqrt{3}, 1)$

$r^B(0) = 2(\cos(0)i + \sin(0)j) = 2(1i + 0j) = (2, 0)$

$r^B(1) = 2(\cos(\frac{\pi}{6})i + \sin(\frac{\pi}{6})j) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{1}{2}j) = (\sqrt{3}, 1)$

$r^B(2) = 2(\cos(\frac{2\pi}{3})i + \sin(\frac{2\pi}{3})j) = 2(-\frac{1}{2}i + \frac{\sqrt{3}}{2}j) = (-1, \sqrt{3})$

$r^B(3) = 2(\cos(\frac{3\pi}{2})i + \sin(\frac{3\pi}{2})j) = 2(0i - 1j) = (0, -2)$

(ii) 角速度の定義: $\omega = \frac{d\theta}{dt}$

$\theta^A(t) = \frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}$

$\omega^A(t) = \frac{d\theta^A(t)}{dt} = \frac{\pi}{3}$

$\theta^B(t) = \frac{\pi t^2}{6}$

$\omega^B(t) = \frac{d\theta^B(t)}{dt} = \frac{\pi t}{3}$

(iii) 周期:

Aの周期 $T_A$ は $\frac{\pi T_A}{3} = 2\pi$ より $T_A = 6$

Bは等角速度運動ではないので、周期は存在しません。

(iv) 速度の接線成分: $v = r\omega$

$v^A(t) = 2\omega^A(t) = 2(\frac{\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3}$ (一定)

$v^B(t) = 2\omega^B(t) = 2(\frac{\pi t}{3}) = \frac{2\pi t}{3}$

(v) $t = 1$ における速度:

$v^A(1) = \frac{2\pi}{3}$

$v^B(1) = \frac{2\pi}{3}$

(i)で描いた軌跡上に速度ベクトルを図示します。速度ベクトルは、それぞれの位置において円の接線方向を向きます。

(vi) $t = 1$ における加速度:

$a^A(t) = \frac{dv^A(t)}{dt} = 0$

$a^B(t) = \frac{dv^B(t)}{dt} = \frac{2\pi}{3}$

$a^A(1) = 0$

$a^B(1) = \frac{2\pi}{3}$

(i)で描いた軌跡上に加速度ベクトルを図示します。

(vii) 加速度の接線成分と法線成分:

$a_t^A(1) = 0$

$a_n^A(1) = \frac{(v^A(1))^2}{r} = \frac{(\frac{2\pi}{3})^2}{2} = \frac{4\pi^2}{18} = \frac{2\pi^2}{9}$

$a_t^B(1) = \frac{2\pi}{3}$

$a_n^B(1) = \frac{(v^B(1))^2}{r} = \frac{(\frac{2\pi}{3})^2}{2} = \frac{4\pi^2}{18} = \frac{2\pi^2}{9}$

(viii) 加速度の大きさ:

$|a^A(1)| = \sqrt{(a_t^A(1))^2 + (a_n^A(1))^2} = \sqrt{0^2 + (\frac{2\pi^2}{9})^2} = \frac{2\pi^2}{9}$

$|a^B(1)| = \sqrt{(a_t^B(1))^2 + (a_n^B(1))^2} = \sqrt{(\frac{2\pi}{3})^2 + (\frac{2\pi^2}{9})^2} = \sqrt{\frac{4\pi^2}{9} + \frac{4\pi^4}{81}} = \frac{2\pi}{9}\sqrt{9 + \pi^2}$

(ix) 同じ半径で速度が等しい円運動でも、加速度が異なる例:

等速円運動と、接線方向に加速度を持つ円運動を比較します。

質点Aは等速円運動をしており、質点Bは等加速度円運動をしています。

$t = 1$において、$v^A(1) = v^B(1) = \frac{2\pi}{3}$ですが、$a^A(1) = \frac{2\pi^2}{9}$、$a^B(1) = \frac{2\pi}{9}\sqrt{9+\pi^2}$となり、加速度の大きさが異なります。

3. 最終的な答え

(i) 軌跡は円周であり、$t=0,1,2,3$ における点は上記参照。

(ii) $\omega^A(t) = \frac{\pi}{3}$, $\omega^B(t) = \frac{\pi t}{3}$

(iii) $T_A = 6$, Bは周期なし

(iv) $v^A(t) = \frac{2\pi}{3}$, $v^B(t) = \frac{2\pi t}{3}$

(v) $v^A(1) = \frac{2\pi}{3}$, $v^B(1) = \frac{2\pi}{3}$ (軌跡上に図示)

(vi) $a^A(1) = 0$, $a^B(1) = \frac{2\pi}{3}$ (軌跡上に図示)

(vii) $a_t^A(1) = 0$, $a_n^A(1) = \frac{2\pi^2}{9}$, $a_t^B(1) = \frac{2\pi}{3}$, $a_n^B(1) = \frac{2\pi^2}{9}$

(viii) $|a^A(1)| = \frac{2\pi^2}{9}$, $|a^B(1)| = \frac{2\pi}{9}\sqrt{9 + \pi^2}$

(ix) 等速円運動と等加速度円運動