関数 $f(x) = \sqrt{x-2}$ について、以下の問いに答えます。 (1) 関数 $y=f(x)$ の定義域と値域を求めます。 (2) 関数 $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求めます。 (3) 元の関数 $y=f(x)$ のグラフを点線で、逆関数 $y=f^{-1}(x)$ のグラフを実線で描きます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sqrt{x-2}$ について、以下の問いに答えます。

(1) 関数 $y=f(x)$ の定義域と値域を求めます。

(2) 関数 $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求めます。

(3) 元の関数 $y=f(x)$ のグラフを点線で、逆関数 $y=f^{-1}(x)$ のグラフを実線で描きます。

2. 解き方の手順

(1) 定義域と値域

関数 $f(x) = \sqrt{x-2}$ の定義域は、根号の中が0以上になる $x$ の範囲です。

$x - 2 \ge 0$

$x \ge 2$

したがって、定義域は $x \ge 2$ です。

値域は、$x \ge 2$ のとき、$f(x) = \sqrt{x-2} \ge 0$ なので、$y \ge 0$ です。

(2) 逆関数

$y = \sqrt{x-2}$ とします。

両辺を2乗して、$y^2 = x - 2$

$x = y^2 + 2$

$x$ と $y$ を入れ替えて、$y = x^2 + 2$

定義域は、$x \ge 0$

(3) グラフ

$y = \sqrt{x-2}$ のグラフは、$y=\sqrt{x}$ のグラフをx軸方向に2だけ平行移動したものです。定義域は $x \ge 2$ で、値域は $y \ge 0$ です。

$y = x^2 + 2$ ($x \ge 0$)のグラフは、$y = x^2$ ($x \ge 0$)のグラフをy軸方向に2だけ平行移動したものです。定義域は $x \ge 0$ で、値域は $y \ge 2$ です。

$y = x$ の直線に関して対称になるように描きます。

3. 最終的な答え

(1) 定義域: $x \ge 2$, 値域: $y \ge 0$

(2) $f^{-1}(x) = x^2 + 2$ ($x \ge 0$)

(3) (グラフは描画ソフト等を用いて、上記の情報を基に描画してください。)