次の三角関数に関する等式・不等式を満たす $\theta$ を指定された範囲内で求めます。 (1) $2\sin 2\theta = \sqrt{3}$, $0 \le \theta \le 2\pi$ (2) $6\sqrt{2}\cos\theta - 3\sqrt{6} < 0$, $0 \le \theta \le 2\pi$ (3) $\tan\theta > -\sqrt{3}$, $0 < \theta < 2\pi$ (4) $-1 < \tan\theta < \frac{1}{\sqrt{3}}$, $-\pi \le \theta \le \pi$

1. 問題の内容

次の三角関数に関する等式・不等式を満たす $\theta$ を指定された範囲内で求めます。

(1) $2\sin 2\theta = \sqrt{3}$, $0 \le \theta \le 2\pi$

(2) $6\sqrt{2}\cos\theta - 3\sqrt{6} < 0$, $0 \le \theta \le 2\pi$

(3) $\tan\theta > -\sqrt{3}$, $0 < \theta < 2\pi$

(4) $-1 < \tan\theta < \frac{1}{\sqrt{3}}$, $-\pi \le \theta \le \pi$

2. 解き方の手順

(1) $2\sin 2\theta = \sqrt{3}$ より、

$\sin 2\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0 \le \theta \le 2\pi$ なので、$0 \le 2\theta \le 4\pi$。

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $x$ は、$\frac{\pi}{3}$, $\frac{2\pi}{3}$, $\frac{7\pi}{3}$, $\frac{8\pi}{3}$。

したがって、$2\theta = \frac{\pi}{3}$, $\frac{2\pi}{3}$, $\frac{7\pi}{3}$, $\frac{8\pi}{3}$。

よって、$\theta = \frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{7\pi}{6}$, $\frac{4\pi}{3}$。

(2) $6\sqrt{2}\cos\theta - 3\sqrt{6} < 0$ より、

$6\sqrt{2}\cos\theta < 3\sqrt{6}$

$\cos\theta < \frac{3\sqrt{6}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0 \le \theta \le 2\pi$ なので、$\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{6}$, $\frac{11\pi}{6}$。

$\cos\theta < \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ の範囲は、$\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{11\pi}{6}$。

(3) $\tan\theta > -\sqrt{3}$, $0 < \theta < 2\pi$

$\tan\theta = -\sqrt{3}$ を満たす $\theta$ は、$\frac{2\pi}{3}$, $\frac{5\pi}{3}$。

$\tan\theta > -\sqrt{3}$ となる $\theta$ の範囲は、$0 < \theta < \frac{2\pi}{3}$ または $\frac{5\pi}{3} < \theta < 2\pi$。

ただし、$\tan\theta$ は $\theta = \frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$ で定義されないので、$\theta \ne \frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$。

よって、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{2\pi}{3}$, $\frac{5\pi}{3} < \theta < \frac{3\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$。

(4) $-1 < \tan\theta < \frac{1}{\sqrt{3}}$, $-\pi \le \theta \le \pi$

$\tan\theta = -1$ を満たす $\theta$ は、$-\frac{\pi}{4}$。

$\tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ を満たす $\theta$ は、$\frac{\pi}{6}$。

$-1 < \tan\theta < \frac{1}{\sqrt{3}}$ となる $\theta$ の範囲は、$-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{6}$。

ただし、$\tan\theta$ は $\theta = -\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}$ で定義されない。 $-\frac{\pi}{4}$ と $\frac{\pi}{6}$ の間には、$\pm\frac{\pi}{2}$ は含まれないので、これらは考慮不要。

よって、$-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{6}$。

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{6}, \frac{4\pi}{3}$

(2) $\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{11\pi}{6}$

(3) $0 < \theta < \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} < \theta < \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} < \theta < \frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$

(4) $-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{6}$