関数 $y = (x+1)^{2x}$ を微分する。

1. 問題の内容

関数 $y = (x+1)^{2x}$ を微分する。

2. 解き方の手順

両辺の自然対数をとる。

$\ln y = \ln((x+1)^{2x})$

$\ln y = 2x \ln(x+1)$

両辺を$x$で微分する。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2 \ln(x+1) + 2x \cdot \frac{1}{x+1}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( 2 \ln(x+1) + \frac{2x}{x+1} \right)$

$y$に元の関数を代入する。

$\frac{dy}{dx} = (x+1)^{2x} \left( 2 \ln(x+1) + \frac{2x}{x+1} \right)$

$\frac{dy}{dx} = 2(x+1)^{2x} \left( \ln(x+1) + \frac{x}{x+1} \right)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 2(x+1)^{2x} \left( \ln(x+1) + \frac{x}{x+1} \right)$