与えられた微分方程式 $\frac{d^2y}{dt^2} - y + 3 = 0$ の一般解を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\frac{d^2y}{dt^2} - y + 3 = 0$ の一般解を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式を

$$\frac{d^2y}{dt^2} - y = -3$$

と変形します。

次に、同次方程式 $\frac{d^2y}{dt^2} - y = 0$ を解きます。特性方程式は $\lambda^2 - 1 = 0$ となり、解は $\lambda = \pm 1$ となります。したがって、同次方程式の一般解は

$$y_h(t) = C_1e^t + C_2e^{-t}$$

となります（$C_1, C_2$ は任意定数）。

次に、非同次方程式 $\frac{d^2y}{dt^2} - y = -3$ の特殊解を求めます。定数関数 $y_p(t) = A$ を仮定し、微分方程式に代入すると、

$0 - A = -3$ より、$A = 3$ となります。

したがって、特殊解は $y_p(t) = 3$ です。

最後に、一般解は同次方程式の一般解と特殊解の和で与えられます。

$$y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1e^t + C_2e^{-t} + 3$$

3. 最終的な答え

$y(t) = C_1e^t + C_2e^{-t} + 3$