次の3つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (1) $y = (x+1)^{2x}$ (2) $y = x^x$ (ただし、$x > 0$) (3) $y = \sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}$

1. 問題の内容

次の3つの関数をそれぞれ微分する問題です。

(1) $y = (x+1)^{2x}$

(2) $y = x^x$ (ただし、$x > 0$)

(3) $y = \sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}$

2. 解き方の手順

(1) $y = (x+1)^{2x}$ の微分

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln(x+1)^{2x} = 2x \ln(x+1)$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2 \ln(x+1) + 2x \cdot \frac{1}{x+1} = 2 \ln(x+1) + \frac{2x}{x+1}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( 2 \ln(x+1) + \frac{2x}{x+1} \right) = (x+1)^{2x} \left( 2 \ln(x+1) + \frac{2x}{x+1} \right)$

(2) $y = x^x$ の微分

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln x^x = x \ln x$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$

$\frac{dy}{dx} = y (\ln x + 1) = x^x (\ln x + 1)$

(3) $y = \sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}$ の微分

$y = \left( \frac{1-x^2}{1+x^2} \right)^{\frac{1}{2}}$

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1-x^2}{1+x^2} \right) = \frac{1}{2} (\ln(1-x^2) - \ln(1+x^2))$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{-2x}{1-x^2} - \frac{2x}{1+x^2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{-2x(1+x^2) - 2x(1-x^2)}{(1-x^2)(1+x^2)} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{-2x - 2x^3 - 2x + 2x^3}{1-x^4} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{-4x}{1-x^4} \right) = \frac{-2x}{1-x^4}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{-2x}{1-x^4} \right) = \sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}} \cdot \frac{-2x}{1-x^4} = \sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}} \cdot \frac{-2x}{(1-x^2)(1+x^2)}$

$= \frac{-2x}{\sqrt{(1-x^2)(1+x^2)^3}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = (x+1)^{2x} \left( 2 \ln(x+1) + \frac{2x}{x+1} \right)$

(2) $\frac{dy}{dx} = x^x (\ln x + 1)$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{\sqrt{(1-x^2)(1+x^2)^3}}$