与えられた関数を微分せよという問題です。ここでは、(1) $y = (x+1)^{2x}$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分せよという問題です。ここでは、(1) $y = (x+1)^{2x}$ を解きます。

2. 解き方の手順

(1) $y = (x+1)^{2x}$ を微分します。

両辺の自然対数を取ると、

$\ln y = \ln (x+1)^{2x} = 2x \ln (x+1)$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2 \ln(x+1) + 2x \cdot \frac{1}{x+1} = 2 \ln(x+1) + \frac{2x}{x+1}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = y \left(2 \ln(x+1) + \frac{2x}{x+1} \right) = (x+1)^{2x} \left(2 \ln(x+1) + \frac{2x}{x+1} \right)$

$= 2 (x+1)^{2x} \left(\ln(x+1) + \frac{x}{x+1} \right)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 2 (x+1)^{2x} \left(\ln(x+1) + \frac{x}{x+1} \right)$