与えられた4つの関数を微分する問題です。 (1) $y = (x+1)(x-3)$ (2) $y = (2x+1)^3$ (3) $y = (x^2-2x+3)^2$ (4) $y = (4x-3)^2(2x+3)$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数を微分する問題です。

(1) $y = (x+1)(x-3)$

(2) $y = (2x+1)^3$

(3) $y = (x^2-2x+3)^2$

(4) $y = (4x-3)^2(2x+3)$

2. 解き方の手順

(1) $y = (x+1)(x-3)$ を展開して微分します。

$y = x^2 - 3x + x - 3 = x^2 - 2x - 3$

$\frac{dy}{dx} = 2x - 2$

(2) $y = (2x+1)^3$ は合成関数の微分として解きます。$u=2x+1$ とおくと $y = u^3$となり、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$です。

$\frac{dy}{du} = 3u^2 = 3(2x+1)^2$

$\frac{du}{dx} = 2$

$\frac{dy}{dx} = 3(2x+1)^2 \cdot 2 = 6(2x+1)^2$

(3) $y = (x^2-2x+3)^2$ も合成関数の微分として解きます。$u=x^2-2x+3$ とおくと $y = u^2$となり、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$です。

$\frac{dy}{du} = 2u = 2(x^2-2x+3)$

$\frac{du}{dx} = 2x-2$

$\frac{dy}{dx} = 2(x^2-2x+3) \cdot (2x-2) = 4(x^2-2x+3)(x-1)$

(4) $y = (4x-3)^2(2x+3)$ は積の微分と合成関数の微分を組み合わせて解きます。

$u = (4x-3)^2$

$v = (2x+3)$

$\frac{du}{dx} = 2(4x-3) \cdot 4 = 8(4x-3)$

$\frac{dv}{dx} = 2$

$\frac{dy}{dx} = u'\cdot v + u \cdot v' = 8(4x-3)(2x+3) + (4x-3)^2 \cdot 2 = 2(4x-3)[4(2x+3) + (4x-3)] = 2(4x-3)(8x+12+4x-3) = 2(4x-3)(12x+9) = 6(4x-3)(4x+3)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 2x - 2$

(2) $\frac{dy}{dx} = 6(2x+1)^2$

(3) $\frac{dy}{dx} = 4(x^2-2x+3)(x-1)$

(4) $\frac{dy}{dx} = 6(4x-3)(4x+3)$