与えられた関数を微分する問題です。問題は全部で6つあります。 (9) $y = \frac{1 + \sin x}{\cos x}$ (10) $y = \frac{\sin x - x \cos x}{x \sin x + \cos x}$ (11) $y = \tan^{-1}(x^2 + 1)$ (12) $y = \tan^{-1}(\frac{a}{x})$ (13) $y = \cos(\sin^{-1} x)$ (14) $y = x \sin^{-1} x + \sqrt{1 - x^2}$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。問題は全部で6つあります。

(9) $y = \frac{1 + \sin x}{\cos x}$

(10) $y = \frac{\sin x - x \cos x}{x \sin x + \cos x}$

(11) $y = \tan^{-1}(x^2 + 1)$

(12) $y = \tan^{-1}(\frac{a}{x})$

(13) $y = \cos(\sin^{-1} x)$

(14) $y = x \sin^{-1} x + \sqrt{1 - x^2}$

2. 解き方の手順

(9) 商の微分公式を用いて微分します。商の微分公式は$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$です。

$u = 1 + \sin x$ なので、$u' = \cos x$です。

$v = \cos x$ なので、$v' = -\sin x$です。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x \cdot \cos x - (1 + \sin x)(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1 + \sin x}{\cos^2 x}$

(10) 商の微分公式を用いて微分します。

$u = \sin x - x \cos x$なので、$u' = \cos x - \cos x + x \sin x = x \sin x$です。

$v = x \sin x + \cos x$なので、$v' = \sin x + x \cos x - \sin x = x \cos x$です。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x \sin x)(x \sin x + \cos x) - (\sin x - x \cos x)(x \cos x)}{(x \sin x + \cos x)^2} = \frac{x^2 \sin^2 x + x \sin x \cos x - x \sin x \cos x + x^2 \cos^2 x}{(x \sin x + \cos x)^2} = \frac{x^2(\sin^2 x + \cos^2 x)}{(x \sin x + \cos x)^2} = \frac{x^2}{(x \sin x + \cos x)^2}$

(11) 合成関数の微分を用いて微分します。$\frac{d}{dx}(\tan^{-1} u) = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{dx}$です。

$u = x^2 + 1$ なので、$u' = 2x$です。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (x^2 + 1)^2} \cdot 2x = \frac{2x}{1 + x^4 + 2x^2 + 1} = \frac{2x}{x^4 + 2x^2 + 2}$

(12) 合成関数の微分を用いて微分します。$\frac{d}{dx}(\tan^{-1} u) = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{dx}$です。

$u = \frac{a}{x}$ なので、$u' = -\frac{a}{x^2}$です。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (\frac{a}{x})^2} \cdot (-\frac{a}{x^2}) = \frac{1}{1 + \frac{a^2}{x^2}} \cdot (-\frac{a}{x^2}) = \frac{x^2}{x^2 + a^2} \cdot (-\frac{a}{x^2}) = -\frac{a}{x^2 + a^2}$

(13) 合成関数の微分を用いて微分します。$\frac{d}{dx} \cos(u) = - \sin(u) \frac{du}{dx}$です。また$\frac{d}{dx}\sin^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$です。

$u = \sin^{-1} x$なので、$u' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$です。

また$\cos(\sin^{-1}x) = \sqrt{1-x^2}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -\sin(\sin^{-1}x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = - x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$

または、

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}(-2x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

(14) 積の微分と合成関数の微分を用いて微分します。

$\frac{d}{dx} (x \sin^{-1} x) = \sin^{-1} x + x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

$\frac{d}{dx} (\sqrt{1 - x^2}) = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \sin^{-1} x + \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = \sin^{-1} x$

3. 最終的な答え

(9) $\frac{1 + \sin x}{\cos^2 x}$

(10) $\frac{x^2}{(x \sin x + \cos x)^2}$

(11) $\frac{2x}{x^4 + 2x^2 + 2}$

(12) $-\frac{a}{x^2 + a^2}$

(13) $-\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$

(14) $\sin^{-1} x$