与えられた関数を微分する問題です。ここでは、(1) $y = (x+1)^{2x}$ と (2) $x^x$ ($x>0$)、(3) $\sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}$、(4) $e^{x^x}$ ($x>0$)、(5) $\log \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$、(6) $\frac{e^{\tan^{-1}x}(x-1)}{\sqrt{1+x^2}}$、(7) $x^{\cos x}$、(8) $(\sin x)^x$ ($\sin x > 0, x > 0$) を微分します。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。ここでは、(1) $y = (x+1)^{2x}$ と (2) $x^x$ ($x>0$)、(3) $\sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}$、(4) $e^{x^x}$ ($x>0$)、(5) $\log \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$、(6) $\frac{e^{\tan^{-1}x}(x-1)}{\sqrt{1+x^2}}$、(7) $x^{\cos x}$、(8) $(\sin x)^x$ ($\sin x > 0, x > 0$) を微分します。

2. 解き方の手順

(1) $y = (x+1)^{2x}$ の微分

両辺の自然対数を取ります。

$\log y = \log (x+1)^{2x} = 2x \log(x+1)$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2 \log(x+1) + 2x \cdot \frac{1}{x+1} = 2 \log(x+1) + \frac{2x}{x+1}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( 2 \log(x+1) + \frac{2x}{x+1} \right) = (x+1)^{2x} \left( 2 \log(x+1) + \frac{2x}{x+1} \right)$

(2) $y = x^x$ ($x>0$) の微分

両辺の自然対数を取ります。

$\log y = \log x^x = x \log x$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

$\frac{dy}{dx} = y(\log x + 1) = x^x (\log x + 1)$

(3) $y = \sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}$ の微分

両辺の自然対数を取ります。

$\log y = \frac{1}{2} \log \left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right) = \frac{1}{2} (\log(1-x^2) - \log(1+x^2))$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{-2x}{1-x^2} - \frac{2x}{1+x^2} \right) = -x \left( \frac{1}{1-x^2} + \frac{1}{1+x^2} \right)$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -x \left( \frac{1+x^2 + 1-x^2}{(1-x^2)(1+x^2)} \right) = -x \left( \frac{2}{1-x^4} \right) = \frac{-2x}{1-x^4}$

$\frac{dy}{dx} = y \frac{-2x}{1-x^4} = \sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}} \cdot \frac{-2x}{1-x^4} = \frac{-2x \sqrt{1-x^2}}{(1-x^4) \sqrt{1+x^2}} = \frac{-2x}{(1-x^2)\sqrt{1-x^4}} = \frac{-2x}{(1-x^2)\sqrt{(1-x^2)(1+x^2)}}=\frac{-2x\sqrt{1+x^2}}{(1-x^2)\sqrt{(1-x^2)^2(1+x^2)^2}} = \frac{-2x\sqrt{1+x^2}}{(1-x^2)(1+x^2)\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{(1-x^2)\sqrt{1-x^4}}$

(4) $y = e^{x^x}$ ($x>0$) の微分

$u = x^x$ とおくと、$y = e^u$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} = e^u \frac{du}{dx}$

(2)より、$\frac{du}{dx} = x^x (\log x + 1)$

よって、$\frac{dy}{dx} = e^{x^x} x^x (\log x + 1)$

(5) $y = \log \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$ の微分

$\log y = \log \sqrt{\frac{x+1}{x-1}} = \frac{1}{2} \log \frac{x+1}{x-1} = \frac{1}{2} (\log (x+1) - \log (x-1))$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{x-1 - (x+1)}{(x+1)(x-1)} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{-2}{x^2-1} \right) = \frac{-1}{x^2-1} = \frac{1}{1-x^2}$

$\frac{dy}{dx} = y \frac{1}{1-x^2} = \log \sqrt{\frac{x+1}{x-1}} \frac{1}{1-x^2} = \frac{1}{2} \log \frac{x+1}{x-1} \frac{1}{1-x^2}$

別の解法:

$y = \log \sqrt{\frac{x+1}{x-1}} = \frac{1}{2} \log (\frac{x+1}{x-1})$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{1}{\frac{x+1}{x-1}} \frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2} = \frac{1}{2} \frac{x-1}{x+1} \frac{-2}{(x-1)^2} = \frac{-1}{(x+1)(x-1)} = \frac{-1}{x^2-1} = \frac{1}{1-x^2}$

(6) $y = \frac{e^{\arctan x}(x-1)}{\sqrt{1+x^2}}$ の微分

$\log y = \arctan x + \log(x-1) - \frac{1}{2} \log(1+x^2)$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{2} \frac{2x}{1+x^2} = \frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{x-1} - \frac{x}{1+x^2} = \frac{1-x}{1+x^2} + \frac{1}{x-1} = \frac{1-x}{1+x^2} - \frac{1}{1-x} = \frac{(1-x)^2-(1+x^2)}{(1-x)(1+x^2)} = \frac{1-2x+x^2-1-x^2}{(1-x)(1+x^2)} = \frac{-2x}{(1-x)(1+x^2)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x e^{\arctan x}(x-1)}{(1-x)(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}$

(7) $y = x^{\cos x}$ の微分

$\log y = \cos x \log x$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -\sin x \log x + \cos x \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = x^{\cos x} (-\sin x \log x + \frac{\cos x}{x})$

(8) $y = (\sin x)^x$ ($\sin x > 0, x > 0$) の微分

$\log y = x \log(\sin x)$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log(\sin x) + x \frac{\cos x}{\sin x} = \log(\sin x) + x \cot x$

$\frac{dy}{dx} = (\sin x)^x (\log(\sin x) + x \cot x)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = (x+1)^{2x} \left( 2 \log(x+1) + \frac{2x}{x+1} \right)$

(2) $\frac{dy}{dx} = x^x (\log x + 1)$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{(1-x^2)\sqrt{1-x^4}}$

(4) $\frac{dy}{dx} = e^{x^x} x^x (\log x + 1)$

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1-x^2}$

(6) $\frac{dy}{dx} = \frac{-2x e^{\arctan x}(x-1)}{(1-x)(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}$

(7) $\frac{dy}{dx} = x^{\cos x} (-\sin x \log x + \frac{\cos x}{x})$

(8) $\frac{dy}{dx} = (\sin x)^x (\log(\sin x) + x \cot x)$