曲線 $y = x^4 + ax^3 + 3ax^2 + 1$ が変曲点を持つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^4 + ax^3 + 3ax^2 + 1$ が変曲点を持つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

変曲点は2階微分が0になる点です。したがって、与えられた関数を2回微分し、その結果が0になるような $x$ が存在するための $a$ の条件を求めます。

まず、与えられた関数を $x$ で微分します。

$y' = 4x^3 + 3ax^2 + 6ax$

次に、$y'$ を $x$ で微分して $y''$ を求めます。

$y'' = 12x^2 + 6ax + 6a$

変曲点を持つためには、$y'' = 0$ となる $x$ が存在する必要があります。したがって、$12x^2 + 6ax + 6a = 0$ が実数解を持つ条件を求めます。

$12x^2 + 6ax + 6a = 0$ を $6$ で割ると、

$2x^2 + ax + a = 0$

この2次方程式が実数解を持つためには、判別式 $D$ が $D > 0$ である必要があります。（問題文より変曲点をもつ「ように」とあるので、重解は含みません。）

$D = a^2 - 4(2)(a) = a^2 - 8a$

$a^2 - 8a > 0$

$a(a - 8) > 0$

したがって、$a < 0$ または $a > 8$

3. 最終的な答え

$a < 0$ または $a > 8$