与えられた関数について、マクローリン展開を4次の項($x^4$の項)まで求めよ。 (1) $\frac{1}{x^2 - a^2}$ ($|x| < |a|$) (2) $\arctan x$ ($|x| < 1$) (3) $(1+x)^x$

1. 問題の内容

与えられた関数について、マクローリン展開を4次の項($x^4$の項)まで求めよ。

(1) $\frac{1}{x^2 - a^2}$ ($|x| < |a|$)

(2) $\arctan x$ ($|x| < 1$)

(3) $(1+x)^x$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{x^2 - a^2}$ の場合

まず、$\frac{1}{x^2 - a^2}$ を部分分数分解します。

$\frac{1}{x^2 - a^2} = \frac{1}{(x-a)(x+a)} = \frac{1}{2a} (\frac{1}{x-a} - \frac{1}{x+a})$

$\frac{1}{x^2 - a^2} = -\frac{1}{2a} (\frac{1}{a-x} + \frac{1}{a+x})$

次に、$\frac{1}{a-x}$ と $\frac{1}{a+x}$ をそれぞれマクローリン展開します。

$\frac{1}{a-x} = \frac{1}{a} \frac{1}{1-\frac{x}{a}} = \frac{1}{a} (1 + \frac{x}{a} + (\frac{x}{a})^2 + (\frac{x}{a})^3 + (\frac{x}{a})^4 + ...)$

$\frac{1}{a+x} = \frac{1}{a} \frac{1}{1+\frac{x}{a}} = \frac{1}{a} (1 - \frac{x}{a} + (\frac{x}{a})^2 - (\frac{x}{a})^3 + (\frac{x}{a})^4 + ...)$

したがって、

$\frac{1}{x^2 - a^2} = -\frac{1}{2a^2} [(1 + \frac{x}{a} + \frac{x^2}{a^2} + \frac{x^3}{a^3} + \frac{x^4}{a^4} + ...) + (1 - \frac{x}{a} + \frac{x^2}{a^2} - \frac{x^3}{a^3} + \frac{x^4}{a^4} + ...)]$

$= -\frac{1}{2a^2} [2 + 2\frac{x^2}{a^2} + 2\frac{x^4}{a^4} + ...]$

$= -\frac{1}{a^2} (1 + \frac{x^2}{a^2} + \frac{x^4}{a^4} + ...)$

$= -\frac{1}{a^2} - \frac{x^2}{a^4} - \frac{x^4}{a^6} + ...$

(2) $\arctan x$ の場合

$\arctan x$ の導関数は $\frac{1}{1+x^2}$ です。

$\frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + ...$ ($|x| < 1$)

$\arctan x = \int \frac{1}{1+x^2} dx = \int (1 - x^2 + x^4 - x^6 + ...) dx = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + ... + C$

$x=0$ のとき $\arctan 0 = 0$ なので $C = 0$

$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - ...$

4次の項までなので、 $\arctan x = x - \frac{x^3}{3}$

(3) $(1+x)^x$ の場合

$(1+x)^x = e^{x \ln(1+x)}$

$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + ...$

$x \ln(1+x) = x(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + ...) = x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{3} - \frac{x^5}{4} + ...$

$e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \frac{u^3}{3!} + ...$

$(1+x)^x = e^{x \ln(1+x)} = 1 + (x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{3}) + \frac{(x^2 - \frac{x^3}{2})^2}{2} + ...$

$= 1 + x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{3} + \frac{x^4}{2} + ...$

$= 1 + x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{5x^4}{6} + ...$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{x^2 - a^2} \approx -\frac{1}{a^2} - \frac{x^2}{a^4} - \frac{x^4}{a^6}$

(2) $\arctan x \approx x - \frac{x^3}{3}$

(3) $(1+x)^x \approx 1 + x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{5x^4}{6}$