与えられたベルヌーイ数の定義 $\frac{x}{e^x - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n$ に対して、以下の問題を解く。 (1) $B_0, B_1, B_2, B_3$ を求める。 (2) $\frac{x}{e^x - 1}$ のマクローリン展開を3次の項($x^3$ の項)まで示す。 (3) $\sum_{n=0}^{m-1} {}_m C_n B_n$ (m ≥ 1) を求める。

1. 問題の内容

与えられたベルヌーイ数の定義

$\frac{x}{e^x - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n$

に対して、以下の問題を解く。

(1) $B_0, B_1, B_2, B_3$ を求める。

(2) $\frac{x}{e^x - 1}$ のマクローリン展開を3次の項($x^3$ の項)まで示す。

(3) $\sum_{n=0}^{m-1} {}_m C_n B_n$ (m ≥ 1) を求める。

2. 解き方の手順

(1) $e^x$ のマクローリン展開を計算する。

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$

$e^x - 1 = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \dots$

$\frac{x}{e^x - 1} = \frac{x}{x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \dots} = \frac{1}{1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{6} + \frac{x^3}{24} + \dots}$

この逆数を求める。

$\frac{1}{1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{6} + \frac{x^3}{24} + \dots} = 1 - (\frac{x}{2} + \frac{x^2}{6} + \frac{x^3}{24} + \dots) + (\frac{x}{2} + \frac{x^2}{6} + \frac{x^3}{24} + \dots)^2 - (\frac{x}{2} + \frac{x^2}{6} + \frac{x^3}{24} + \dots)^3 + \dots$

$= 1 - \frac{x}{2} - \frac{x^2}{6} - \frac{x^3}{24} + \frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{6} - \frac{x^3}{8} + \dots$

$= 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{12} - \frac{x^4}{720} + \dots$

したがって、

$B_0 = 1, B_1 = -\frac{1}{2}, B_2 = \frac{1}{6}, B_3 = 0$

(2) (1) の計算から、$\frac{x}{e^x - 1} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{12} + O(x^4)$ である。従って、3次の項まで考えると、$\frac{x}{e^x - 1} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{12}$

(3) $\sum_{n=0}^{m-1} {}_m C_n B_n$ を求める。ただし $m \ge 1$ である。

$B_0 = 1$, $B_1 = -\frac{1}{2}$, $B_2 = \frac{1}{6}$, $B_3 = 0$, $B_4 = -\frac{1}{30}$, $B_5 = 0$, $B_6 = \frac{1}{42}, \dots$

ベルヌーイ数の定義式を書き換えると、

$\frac{x}{e^x - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n$

$x = (e^x - 1) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n$

$x = (\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}) (\sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n)$

$x = (\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}) (\sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n)$

両辺の $x^m$ の係数 $(m \ge 2)$ を比較すると、

$0 = \sum_{n=0}^{m-1} \frac{1}{(m-n)!} \frac{B_n}{n!}$

$\sum_{n=0}^{m-1} \frac{m!}{(m-n)! n!} \frac{B_n}{m!} = 0$

$\sum_{n=0}^{m-1} {}_m C_n B_n = 0$

3. 最終的な答え

(1) $B_0 = 1$, $B_1 = -\frac{1}{2}$, $B_2 = \frac{1}{6}$, $B_3 = 0$

(2) $\frac{x}{e^x - 1} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{12} + O(x^4)$　または　$\frac{x}{e^x - 1} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{12}$

(3) $\sum_{n=0}^{m-1} {}_m C_n B_n = 0$