与えられた最適化問題を解く。具体的には以下の問題を解く。 (1) $f(x) = 10x - x^2$ が最大となる $x$ の値を求める。 (2) $f(x) = \frac{3}{2}x^2 - 6x + 3$ が最小となる $x$ の値を求める。 (3) $f(x) = 300x - x^2$ が最大となる $x$ の値を求める。 (4) 収入が $(6-x)x$、費用が $x^2+1$ であるとき、利潤を最大にする生産量 $x$ を求める。ただし、利潤 = 収入 - 費用。 (5) 利潤関数が $54x - (x^3 - 6x^2 + 18x + 32)$ であるとき、これを最大にする $x$ を求める。 (6) 利潤関数が $(12-x)x - x^2$ であるとき、これを最大にする $x$ を求める。 (7) $y = x^2 - 4x - 2$ が最小値をとる $x$ とその最小値を求める。 (8) $y = -3x^2 + 12x + 2$ が最大値をとる $x$ とその最大値を求める。

1. 問題の内容

与えられた最適化問題を解く。具体的には以下の問題を解く。

(1) $f(x) = 10x - x^2$ が最大となる $x$ の値を求める。

(2) $f(x) = \frac{3}{2}x^2 - 6x + 3$ が最小となる $x$ の値を求める。

(3) $f(x) = 300x - x^2$ が最大となる $x$ の値を求める。

(4) 収入が $(6-x)x$、費用が $x^2+1$ であるとき、利潤を最大にする生産量 $x$ を求める。ただし、利潤 = 収入 - 費用。

(5) 利潤関数が $54x - (x^3 - 6x^2 + 18x + 32)$ であるとき、これを最大にする $x$ を求める。

(6) 利潤関数が $(12-x)x - x^2$ であるとき、これを最大にする $x$ を求める。

(7) $y = x^2 - 4x - 2$ が最小値をとる $x$ とその最小値を求める。

(8) $y = -3x^2 + 12x + 2$ が最大値をとる $x$ とその最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = 10x - x^2$

$f'(x) = 10 - 2x$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は $x = 5$。

$f''(x) = -2 < 0$ なので、$x=5$ で最大となる。

(2) $f(x) = \frac{3}{2}x^2 - 6x + 3$

$f'(x) = 3x - 6$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は $x = 2$。

$f''(x) = 3 > 0$ なので、$x=2$ で最小となる。

(3) $f(x) = 300x - x^2$

$f'(x) = 300 - 2x$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は $x = 150$。

$f''(x) = -2 < 0$ なので、$x=150$ で最大となる。

(4) 利潤 $P(x) = (6-x)x - (x^2 + 1) = 6x - x^2 - x^2 - 1 = -2x^2 + 6x - 1$

$P'(x) = -4x + 6$

$P'(x) = 0$ となる $x$ は $x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$。

$P''(x) = -4 < 0$ なので、$x = \frac{3}{2}$ で最大となる。

(5) 利潤関数 $P(x) = 54x - (x^3 - 6x^2 + 18x + 32) = -x^3 + 6x^2 + 36x - 32$

$P'(x) = -3x^2 + 12x + 36$

$P'(x) = 0$ となる $x$ を求める。 $-3x^2 + 12x + 36 = 0 \implies x^2 - 4x - 12 = 0 \implies (x-6)(x+2) = 0$

$x = 6, -2$

$P''(x) = -6x + 12$

$P''(6) = -36 + 12 = -24 < 0$ なので、$x=6$ で最大となる。

$P''(-2) = 12 + 12 = 24 > 0$ なので、$x=-2$ で最小となる。

(6) 利潤関数 $P(x) = (12-x)x - x^2 = 12x - x^2 - x^2 = 12x - 2x^2$

$P'(x) = 12 - 4x$

$P'(x) = 0$ となる $x$ は $x = 3$。

$P''(x) = -4 < 0$ なので、$x=3$ で最大となる。

(7) $y = x^2 - 4x - 2$

$y' = 2x - 4$

$y' = 0$ となる $x$ は $x = 2$。

$y'' = 2 > 0$ なので、$x=2$ で最小となる。

$x=2$ のとき $y = 2^2 - 4(2) - 2 = 4 - 8 - 2 = -6$。

(8) $y = -3x^2 + 12x + 2$

$y' = -6x + 12$

$y' = 0$ となる $x$ は $x = 2$。

$y'' = -6 < 0$ なので、$x=2$ で最大となる。

$x=2$ のとき $y = -3(2^2) + 12(2) + 2 = -12 + 24 + 2 = 14$。

3. 最終的な答え

(1) 5

(2) 2

(3) 150

(4) 3/2

(5) 6

(6) 3

(7) 2, -6

(8) 2, 14