$x = \sin y$ が与えられたとき、$\frac{dy}{dx}$ を $x$ の式で表す。

1. 問題の内容

$x = \sin y$ が与えられたとき、$\frac{dy}{dx}$ を $x$ の式で表す。

2. 解き方の手順

$x = \sin y$ を $x$ で微分する。

$\frac{d}{dx}(x) = \frac{d}{dx}(\sin y)$

$1 = \cos y \cdot \frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}$

$\cos^2 y + \sin^2 y = 1$ より $\cos^2 y = 1 - \sin^2 y$ である。

したがって $\cos y = \pm\sqrt{1 - \sin^2 y}$

$x = \sin y$ であるから、

$\cos y = \pm\sqrt{1 - x^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\pm\sqrt{1-x^2}}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \pm\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

ただし、$y = \arcsin x$ のとき、$-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$ であり、$-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$ であれば $\cos y > 0$ である。

したがって、$\cos y = \sqrt{1 - x^2}$ となる。

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$