関数 $y = (\log_2 \frac{4}{x})(\log_2 x - 1)$ ($ \frac{1}{2} \le x \le 4 $) の最大値と最小値を求める問題です。ただし、$\log_2 x = t$ とおきます。

1. 問題の内容

関数 $y = (\log_2 \frac{4}{x})(\log_2 x - 1)$ ($\frac{1}{2} \le x \le 4$) の最大値と最小値を求める問題です。ただし、$\log_2 x = t$ とおきます。

2. 解き方の手順

まず、$\log_2 \frac{4}{x}$ を変形します。

$\log_2 \frac{4}{x} = \log_2 4 - \log_2 x = 2 - \log_2 x = 2 - t$

よって、$y$ は $t$ の関数として次のように表されます。

$y = (2 - t)(t - 1) = -t^2 + 3t - 2$

したがって、ア = -1、イ = 3 です。

次に、$t$ の範囲を求めます。$x$ の範囲が $\frac{1}{2} \le x \le 4$ なので、$t = \log_2 x$ の範囲は次のようになります。

$\log_2 \frac{1}{2} \le \log_2 x \le \log_2 4$

$-1 \le t \le 2$

したがって、ウエ = -1、オ = 2 です。

次に、$y = -t^2 + 3t - 2$ の最大値と最小値を求めます。平方完成すると、

$y = -(t - \frac{3}{2})^2 + \frac{1}{4}$

$t = \frac{3}{2}$ のとき、最大値 $\frac{1}{4}$ をとります。

$t = \frac{3}{2}$ のとき、$x$ は次のようになります。

$x = 2^{\frac{3}{2}} = 2 \sqrt{2}$

したがって、カ = 2、キ = 2、ク = 1、ケ = 4 です。

また、$t = -1$ のとき、最小値をとります。

$t = -1$ のとき、$y = -(-1)^2 + 3(-1) - 2 = -1 - 3 - 2 = -6$

$t = -1$ のとき、$x$ は次のようになります。

$x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

したがって、コ = 1、サ = 2、シス = -6 です。

3. 最終的な答え

ア = -1, イ = 3, ウエ = -1, オ = 2, カ = 2, キ = 2, ク = 1, ケ = 4, コ = 1, サ = 2, シス = -6