$x \to 0$ のとき、以下の式の空欄に入る適切な数式を求める問題です。 (1) $\frac{x - \sin x}{x^3} = \boxed{\phantom{blank}} + o(x)$ (2) $\log\frac{1+x}{1-x} = \boxed{\phantom{blank}} + o(x^6)$ (3) $\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x} = \boxed{\phantom{blank}} + o(1)$

1. 問題の内容

$x \to 0$ のとき、以下の式の空欄に入る適切な数式を求める問題です。

(1) $\frac{x - \sin x}{x^3} = \boxed{\phantom{blank}} + o(x)$

(2) $\log\frac{1+x}{1-x} = \boxed{\phantom{blank}} + o(x^6)$

(3) $\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x} = \boxed{\phantom{blank}} + o(1)$

2. 解き方の手順

(1) $x \to 0$ のとき、$\sin x$ のテイラー展開を利用します。

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

したがって、

$x - \sin x = x - (x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots) = \frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120} + \dots$

$\frac{x - \sin x}{x^3} = \frac{\frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120} + \dots}{x^3} = \frac{1}{6} - \frac{x^2}{120} + \dots$

$x \to 0$ のとき、$\frac{x - \sin x}{x^3} \to \frac{1}{6}$

よって、$\frac{x - \sin x}{x^3} = \frac{1}{6} + o(x)$

(2) $x \to 0$ のとき、$\log(1+x)$ のテイラー展開を利用します。

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^6}{6} + \dots$

$\log(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \frac{x^5}{5} - \frac{x^6}{6} - \dots$

$\log\frac{1+x}{1-x} = \log(1+x) - \log(1-x) = (x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^6}{6} + \dots) - (-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \frac{x^5}{5} - \frac{x^6}{6} - \dots) = 2x + \frac{2x^3}{3} + \frac{2x^5}{5} + \dots$

したがって、$\log\frac{1+x}{1-x} = 2x + \frac{2x^3}{3} + \frac{2x^5}{5} + o(x^6)$

(3) $x \to 0$ のとき、$(1+x)^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{1}{x}\log(1+x)}$ と変形できます。

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$

$\frac{\log(1+x)}{x} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \frac{x^3}{4} + \dots$

$e^{\frac{\log(1+x)}{x}} = e^{1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \frac{x^3}{4} + \dots} = e \cdot e^{-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \frac{x^3}{4} + \dots}$

$e^y \approx 1 + y + \frac{y^2}{2!} + \dots$ を利用すると、

$e^{-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \frac{x^3}{4} + \dots} = 1 + (-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \frac{x^3}{4} + \dots) + \frac{(-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \frac{x^3}{4} + \dots)^2}{2} + \dots$

$= 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} + \frac{x^2}{8} + O(x^3) = 1 - \frac{x}{2} + \frac{11}{24}x^2 + O(x^3)$

$(1+x)^{\frac{1}{x}} = e(1 - \frac{x}{2} + \frac{11}{24}x^2 + \dots)$

$(1+x)^{\frac{1}{x}} - e = e - \frac{ex}{2} + \frac{11}{24}ex^2 + \dots - e = -\frac{ex}{2} + \frac{11}{24}ex^2 + \dots$

$\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x} = -\frac{e}{2} + \frac{11}{24}ex + \dots$

$x \to 0$ のとき、$\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x} \to -\frac{e}{2}$

したがって、$\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x} = -\frac{e}{2} + o(1)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{6}$

(2) $2x + \frac{2x^3}{3} + \frac{2x^5}{5}$

(3) $-\frac{e}{2}$