与えられた数式の微分を計算し、選択肢の中から正しいものを選ぶ問題、および、関数の微分係数を求めたり、最大値を求めたりする穴埋め問題です。具体的には以下の問題があります。 (9) $y = (2x+1)(x^2+x+1)$ の微分 (10) $y = (x^3 - x^2 + 5x - 3)(x-1)$ の微分 (11) $y = \frac{3x-1}{x-1}$ の微分 (12) $y = \frac{x^3}{x+1}$ の微分 (13) $y = (x+1)(x^3-4x)$ の微分係数の穴埋め (14) $y = \frac{1}{2x-3}$ の微分係数の穴埋め (15) $c = 24k^{1/3} - 0.5k$ を最大にする $k$ の値の穴埋め

## 問題の解答

1. 問題の内容

与えられた数式の微分を計算し、選択肢の中から正しいものを選ぶ問題、および、関数の微分係数を求めたり、最大値を求めたりする穴埋め問題です。具体的には以下の問題があります。

(9) $y = (2x+1)(x^2+x+1)$ の微分

(10) $y = (x^3 - x^2 + 5x - 3)(x-1)$ の微分

(11) $y = \frac{3x-1}{x-1}$ の微分

(12) $y = \frac{x^3}{x+1}$ の微分

(13) $y = (x+1)(x^3-4x)$ の微分係数の穴埋め

(14) $y = \frac{1}{2x-3}$ の微分係数の穴埋め

(15) $c = 24k^{1/3} - 0.5k$ を最大にする $k$ の値の穴埋め

2. 解き方の手順

(9)

まず、$y = (2x+1)(x^2+x+1)$を展開します。

$y = 2x^3 + 2x^2 + 2x + x^2 + x + 1 = 2x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

次に、微分します。

$\frac{dy}{dx} = 6x^2 + 6x + 3$

よって、答えは①です。

(10)

まず、$y = (x^3 - x^2 + 5x - 3)(x-1)$を展開します。

$y = x^4 - x^3 + 5x^2 - 3x - x^3 + x^2 - 5x + 3 = x^4 - 2x^3 + 6x^2 - 8x + 3$

次に、微分します。

$\frac{dy}{dx} = 4x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

よって、答えは④です。

(11)

$y = \frac{3x-1}{x-1}$ を微分します。商の微分公式 $\frac{d}{dx} \frac{u}{v} = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = 3x-1, v = x-1$ とすると、$u' = 3, v' = 1$ なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{3(x-1) - (3x-1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{3x - 3 - 3x + 1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}$

よって、答えは①です。

(12)

$y = \frac{x^3}{x+1}$ を微分します。商の微分公式 $\frac{d}{dx} \frac{u}{v} = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = x^3, v = x+1$ とすると、$u' = 3x^2, v' = 1$ なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2(x+1) - x^3(1)}{(x+1)^2} = \frac{3x^3 + 3x^2 - x^3}{(x+1)^2} = \frac{2x^3 + 3x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2(2x+3)}{(x+1)^2}$

よって、答えは①です。

(13)

$y = (x+1)(x^3-4x) = x^4 + x^3 - 4x^2 - 4x$

$\frac{dy}{dx} = 4x^3 + 3x^2 - 8x - 4$

よって、20=4, 21=3, 22=8, 23=4

(14)

$y = \frac{1}{2x-3} = (2x-3)^{-1}$

$\frac{dy}{dx} = -1(2x-3)^{-2} \cdot 2 = \frac{-2}{(2x-3)^2}$

よって、24=-2, 25=/

(15)

$c = 24k^{1/3} - 0.5k$

$\frac{dc}{dk} = 24 \cdot \frac{1}{3} k^{-2/3} - 0.5 = 8k^{-2/3} - 0.5$

$\frac{dc}{dk} = 0$ となる $k$ を探します。

$8k^{-2/3} = 0.5$

$k^{-2/3} = \frac{0.5}{8} = \frac{1}{16}$

$k^{2/3} = 16$

$k = 16^{3/2} = (16^{1/2})^3 = 4^3 = 64$

$k=64$

$\frac{d^2c}{dk^2} = 8 \cdot (-\frac{2}{3}) k^{-5/3} = -\frac{16}{3} k^{-5/3}$

$k=64$ のとき、$\frac{d^2c}{dk^2} < 0$ なので、$k=64$ で最大値を取ります。

よって、26=6, 27=4

3. 最終的な答え

(9) ①

(10) ④

(11) ①

(12) ①

(13) 20=4, 21=3, 22=8, 23=4

(14) 24=-2, 25=/

(15) 26=6, 27=4