次の関数の極値を、第2次導関数を利用して求めよ。 (1) $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 1$ (2) $f(x) = x^2 e^{-x}$

1. 問題の内容

次の関数の極値を、第2次導関数を利用して求めよ。

(1) $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 1$

(2) $f(x) = x^2 e^{-x}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 1$

まず、1次導関数を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$

次に、2次導関数を求めます。

$f''(x) = 6x - 6$

$f'(x) = 0$となる$x$を求めます。

$3x^2 - 6x - 9 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x - 3)(x + 1) = 0$

$x = 3, -1$

$x = 3$のとき、$f''(3) = 6(3) - 6 = 18 - 6 = 12 > 0$なので、$x = 3$で極小値をとります。

$f(3) = 3^3 - 3(3^2) - 9(3) + 1 = 27 - 27 - 27 + 1 = -26$

$x = -1$のとき、$f''(-1) = 6(-1) - 6 = -6 - 6 = -12 < 0$なので、$x = -1$で極大値をとります。

$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 1 = -1 - 3 + 9 + 1 = 6$

(2) $f(x) = x^2 e^{-x}$

まず、1次導関数を求めます。

$f'(x) = 2x e^{-x} + x^2 (-e^{-x}) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x} = (2x - x^2) e^{-x} = x(2-x)e^{-x}$

次に、2次導関数を求めます。

$f''(x) = (2 - 2x) e^{-x} + (2x - x^2) (-e^{-x}) = (2 - 2x) e^{-x} - (2x - x^2) e^{-x} = (2 - 2x - 2x + x^2) e^{-x} = (x^2 - 4x + 2) e^{-x}$

$f'(x) = 0$となる$x$を求めます。

$x(2 - x) e^{-x} = 0$

$e^{-x} > 0$なので、$x(2 - x) = 0$

$x = 0, 2$

$x = 0$のとき、$f''(0) = (0^2 - 4(0) + 2) e^{-0} = 2 > 0$なので、$x = 0$で極小値をとります。

$f(0) = 0^2 e^{-0} = 0$

$x = 2$のとき、$f''(2) = (2^2 - 4(2) + 2) e^{-2} = (4 - 8 + 2) e^{-2} = -2 e^{-2} < 0$なので、$x = 2$で極大値をとります。

$f(2) = 2^2 e^{-2} = 4 e^{-2} = \frac{4}{e^2}$

3. 最終的な答え

(1) $x = -1$ で極大値 $6$、$x = 3$ で極小値 $-26$

(2) $x = 0$ で極小値 $0$、$x = 2$ で極大値 $\frac{4}{e^2}$