与えられた積分を計算します。 $\int \frac{\cos^2 x}{2 - \sin^2 x} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$\int \frac{\cos^2 x}{2 - \sin^2 x} dx$

2. 解き方の手順

まず、$\cos^2 x$ を $1 - \sin^2 x$ で置き換えます。

$\int \frac{1 - \sin^2 x}{2 - \sin^2 x} dx$

次に、分母と分子を似た形にするために、次のように変形します。

$\int \frac{2 - \sin^2 x - 1}{2 - \sin^2 x} dx$

積分を分割します。

$\int \left( \frac{2 - \sin^2 x}{2 - \sin^2 x} - \frac{1}{2 - \sin^2 x} \right) dx$

$\int \left( 1 - \frac{1}{2 - \sin^2 x} \right) dx$

$\int 1 dx - \int \frac{1}{2 - \sin^2 x} dx$

$\int \frac{1}{2 - \sin^2 x}dx$ について考えます。分子と分母を$\cos^2 x$で割ります。

$\int \frac{\frac{1}{\cos^2 x}}{\frac{2}{\cos^2 x} - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}} dx$

$\int \frac{\sec^2 x}{2 \sec^2 x - \tan^2 x} dx$

$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ を使って$\sec^2 x$ を $\tan^2 x$ で置き換えます。

$\int \frac{\sec^2 x}{2(1 + \tan^2 x) - \tan^2 x} dx$

$\int \frac{\sec^2 x}{2 + 2 \tan^2 x - \tan^2 x} dx$

$\int \frac{\sec^2 x}{2 + \tan^2 x} dx$

$u = \tan x$ とおくと、$du = \sec^2 x dx$ となります。

$\int \frac{1}{2 + u^2} du$

$\int \frac{1}{(\sqrt{2})^2 + u^2} du = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right) + C$

$u$ を $\tan x$ に戻します。

$\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right) + C$

元の積分に戻ります。

$\int 1 dx - \int \frac{1}{2 - \sin^2 x} dx = x - \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right) + C$

3. 最終的な答え

$x - \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right) + C$