与えられた5つの関数について、そのグラフの概形を描く問題です。 (1) $y = \frac{1}{x^2+1}$ (2) $y = e^{-x^2}$ (3) $y = xe^x$ (4) $y = x + \frac{1}{x}$ (5) $y = \frac{x^2-3}{x-2}$

1. 問題の内容

与えられた5つの関数について、そのグラフの概形を描く問題です。

(1) $y = \frac{1}{x^2+1}$

(2) $y = e^{-x^2}$

(3) $y = xe^x$

(4) $y = x + \frac{1}{x}$

(5) $y = \frac{x^2-3}{x-2}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{x^2+1}$

* 定義域：すべての実数

* $y' = \frac{-2x}{(x^2+1)^2}$ より、$x=0$ で極値をとる。$y'(0) = 0$.

* $y'' = \frac{6x^2-2}{(x^2+1)^3}$ より、変曲点は、$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.

* $x=0$ のとき、$y=1$ (極大値)。

* $x \to \pm \infty$ のとき、$y \to 0$.

* 偶関数。

(2) $y = e^{-x^2}$

* 定義域：すべての実数

* $y' = -2xe^{-x^2}$ より、$x=0$ で極値をとる。$y'(0) = 0$.

* $y'' = (4x^2 - 2)e^{-x^2}$ より、変曲点は、$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.

* $x=0$ のとき、$y=1$ (極大値)。

* $x \to \pm \infty$ のとき、$y \to 0$.

* 偶関数。

(3) $y = xe^x$

* 定義域：すべての実数

* $y' = (x+1)e^x$ より、$x=-1$ で極値をとる。$y'(-1) = 0$.

* $y'' = (x+2)e^x$ より、変曲点は、$x = -2$.

* $x=-1$ のとき、$y = -e^{-1}$ (極小値)。

* $x \to -\infty$ のとき、$y \to 0$ ($lim_{x \to -\infty} xe^x = 0$ を利用)。

* $x \to \infty$ のとき、$y \to \infty$.

(4) $y = x + \frac{1}{x}$

* 定義域：$x \ne 0$

* $y' = 1 - \frac{1}{x^2}$ より、$x = \pm 1$ で極値をとる。

* $y'' = \frac{2}{x^3}$ より、変曲点はない。

* $x=1$ のとき、$y=2$ (極小値)。

* $x=-1$ のとき、$y=-2$ (極大値)。

* $x \to 0^+$ のとき、$y \to \infty$.

* $x \to 0^-$ のとき、$y \to -\infty$.

* $x \to \pm \infty$ のとき、$y \sim x$. $y=x$ は漸近線。

* 奇関数。

(5) $y = \frac{x^2-3}{x-2}$

* 定義域：$x \ne 2$

* $y = x + 2 + \frac{1}{x-2}$ と変形できる。

* $y' = 1 - \frac{1}{(x-2)^2}$ より、$x = 1, 3$ で極値をとる。

* $y'' = \frac{2}{(x-2)^3}$ より、変曲点はない。

* $x=1$ のとき、$y=2$ (極大値)。

* $x=3$ のとき、$y=6$ (極小値)。

* $x \to 2^+$ のとき、$y \to \infty$.

* $x \to 2^-$ のとき、$y \to -\infty$.

* $x \to \pm \infty$ のとき、$y \sim x+2$. $y=x+2$ は漸近線。

3. 最終的な答え

問題文が「概形をかけ」なので、それぞれの関数のグラフの概形を描画することで解答となります。ここでは、言葉で説明することは難しいので、グラフを描画するソフトやツールを使用してグラフを描いてください。上記の解き方の手順で求めた情報が、グラフを描く際の参考になります。