関数 $y = x^x$ ($x > 0$) の導関数 $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^x$ ($x > 0$) の導関数 $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

対数微分法を用いて解きます。

ステップ1: 両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln (x^x)$

$\ln y = x \ln x$

ステップ2: 両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x \ln x)$

ステップ3: 右辺を積の微分法で計算します。

$\frac{d}{dx} (x \ln x) = (1) \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$

ステップ4: $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x + 1$

$\frac{dy}{dx} = y (\ln x + 1)$

ステップ5: $y = x^x$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = x^x (\ln x + 1)$

3. 最終的な答え

$x^x (\ln x + 1)$

選択肢の中から探すと、答えは (3) です。