極限 $\lim_{x \to 1} \frac{a\sqrt{x+1}-b}{x-1} = \frac{1}{2}$ が成り立つように、定数 $a$ と $b$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 1} \frac{a\sqrt{x+1}-b}{x-1} = \frac{1}{2}$ が成り立つように、定数 $a$ と $b$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

まず、極限が存在するためには、 $x \to 1$ で分母が 0 に近づくとき、分子も 0 に近づく必要があります。したがって、$a\sqrt{1+1}-b = 0$ である必要があります。

$a\sqrt{2}-b = 0$

$b = a\sqrt{2}$

次に、求めた関係式を元の極限式に代入し、ロピタルの定理を用いて極限を計算します。

$b = a\sqrt{2}$を代入すると、

$\lim_{x \to 1} \frac{a\sqrt{x+1} - a\sqrt{2}}{x-1} = \frac{1}{2}$

$a$をくくりだすと、

$a \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{2}}{x-1} = \frac{1}{2}$

ここで、$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{2}}{x-1}$を計算するために、分子と分母に$\sqrt{x+1} + \sqrt{2}$をかけます。

$a \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x+1} - \sqrt{2})(\sqrt{x+1} + \sqrt{2})}{(x-1)(\sqrt{x+1} + \sqrt{2})} = \frac{1}{2}$

$a \lim_{x \to 1} \frac{(x+1) - 2}{(x-1)(\sqrt{x+1} + \sqrt{2})} = \frac{1}{2}$

$a \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+1} + \sqrt{2})} = \frac{1}{2}$

$a \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$

$x \to 1$を代入すると、

$a \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$

$a \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$

$a = \sqrt{2}$

$b = a\sqrt{2}$より、

$b = \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$

3. 最終的な答え

$a = \sqrt{2}$

$b = 2$