関数 $f(x) = |x|\cos x$ が与えられたとき、極限 $\lim_{h \to +0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$ と $\lim_{h \to -0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$ を求め、関数 $f(x)$ が $x=0$ で微分可能かどうかを判定する問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = |x|\cos x$ が与えられたとき、極限 $\lim_{h \to +0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$ と $\lim_{h \to -0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$ を求め、関数 $f(x)$ が $x=0$ で微分可能かどうかを判定する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = |x|\cos x$ について、$f(0) = |0| \cos 0 = 0$ であることを確認します。

次に、右側極限を計算します。$h > 0$ のとき、$|h| = h$ なので、

$$$$

\lim_{h \to +0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{|h|\cos h - 0}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{h\cos h}{h} = \lim_{h \to +0} \cos h = \cos 0 = 1

$$$$

次に、左側極限を計算します。$h < 0$ のとき、$|h| = -h$ なので、

$$$$

\lim_{h \to -0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{|h|\cos h - 0}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{-h\cos h}{h} = \lim_{h \to -0} -\cos h = -\cos 0 = -1

$$$$

右側極限と左側極限が異なるので、関数 $f(x) = |x|\cos x$ は $x=0$ で微分可能ではありません。

3. 最終的な答え

$\lim_{h \to +0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = 1$ であり、$\lim_{h \to -0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = -1$ である。

したがって、$f(x) = |x|\cos x$ は $x=0$ で微分可能ではない。