任意の自然数 $n$ に対して、次の不等式が成り立つことを証明せよ。 $$\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} \ge \sqrt{n}$$

1. 問題の内容

任意の自然数 $n$ に対して、次の不等式が成り立つことを証明せよ。

$$\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} \ge \sqrt{n}$$

2. 解き方の手順

数学的帰納法を用いて証明する。

(i) $n=1$ のとき

左辺 = $\frac{1}{\sqrt{1}} = 1$

右辺 = $\sqrt{1} = 1$

したがって、$n=1$ のとき、不等式は成り立つ。

(ii) $n=k$ のとき、不等式が成り立つと仮定する。すなわち、

$$\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k}} \ge \sqrt{k}$$

が成り立つと仮定する。

$n=k+1$ のとき、不等式が成り立つことを示す。すなわち、

$$\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} \ge \sqrt{k+1}$$

を示す。

帰納法の仮定より、

$$\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} \ge \sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}}$$

したがって、

$$\sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} \ge \sqrt{k+1}$$

を示せばよい。

両辺を2乗すると、

$$k + \frac{2\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}} + \frac{1}{k+1} \ge k+1$$

$$\frac{2\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}} + \frac{1}{k+1} \ge 1$$

$$\frac{2\sqrt{k(k+1)} + 1}{k+1} \ge 1$$

$$2\sqrt{k(k+1)} + 1 \ge k+1$$

$$2\sqrt{k(k+1)} \ge k$$

両辺を2乗すると、

$$4k(k+1) \ge k^2$$

$k>0$ なので、$k$ で割ると、

$$4(k+1) \ge k$$

$$4k+4 \ge k$$

$$3k \ge -4$$

これは常に成り立つ。

したがって、$n=k+1$ のときも不等式は成り立つ。

(i), (ii) より、すべての自然数 $n$ に対して、不等式

$$\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} \ge \sqrt{n}$$

が成り立つ。

3. 最終的な答え

$$\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} \ge \sqrt{n}$$

が成り立つ。