与えられた関数の $n$ 次導関数をライプニッツの公式を使って求める問題です。対象となる関数は以下の3つです。 (1) $e^x \cos x$ (2) $\frac{1}{x^2-1}$ (3) $\cos 5x \cos 2x$

1. 問題の内容

与えられた関数の $n$ 次導関数をライプニッツの公式を使って求める問題です。対象となる関数は以下の3つです。

(1) $e^x \cos x$

(2) $\frac{1}{x^2-1}$

(3) $\cos 5x \cos 2x$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = e^x \cos x$ の $n$ 次導関数を求める。

ライプニッツの公式を使う：$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k u^{(n-k)} v^{(k)}$

$u = e^x$, $v = \cos x$ とすると、$u^{(n-k)} = e^x$ となります。

$\cos x$ の導関数は周期的に $\cos x, -\sin x, -\cos x, \sin x$ と変化します。

$v^{(k)}$ を具体的に計算し、ライプニッツの公式に代入して整理します。

(2) $f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$ の $n$ 次導関数を求める。

部分分数分解により $f(x) = \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right)$ と変形します。

$\frac{1}{x-1}$ と $\frac{1}{x+1}$ の $n$ 次導関数はそれぞれ $\frac{(-1)^n n!}{(x-1)^{n+1}}$ と $\frac{(-1)^n n!}{(x+1)^{n+1}}$ となります。

これらを代入して整理します。

(3) $f(x) = \cos 5x \cos 2x$ の $n$ 次導関数を求める。

積和の公式を使う：$\cos A \cos B = \frac{1}{2} (\cos(A+B) + \cos(A-B))$

$f(x) = \frac{1}{2} (\cos 7x + \cos 3x)$ と変形します。

$\cos ax$ の $n$ 次導関数は $a^n \cos(ax + \frac{n\pi}{2})$ となります。

これらを代入して整理します。

3. 最終的な答え

(1) $e^x \cos x$ の $n$ 次導関数:

$(e^x \cos x)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k (e^x) (\cos x)^{(k)} = e^x \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k \cos (x + \frac{k \pi}{2})$

三角関数の合成を使うと、 $(e^x \cos x)^{(n)} = (\sqrt{2})^n e^x \cos (x + \frac{n \pi}{4})$

(2) $\frac{1}{x^2 - 1}$ の $n$ 次導関数:

$f(x) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right)$ より、

$f^{(n)}(x) = \frac{1}{2} \left(\frac{(-1)^n n!}{(x-1)^{n+1}} - \frac{(-1)^n n!}{(x+1)^{n+1}}\right) = \frac{(-1)^n n!}{2} \left(\frac{1}{(x-1)^{n+1}} - \frac{1}{(x+1)^{n+1}}\right)$

(3) $\cos 5x \cos 2x$ の $n$ 次導関数:

$f(x) = \frac{1}{2} (\cos 7x + \cos 3x)$ より、

$f^{(n)}(x) = \frac{1}{2} (7^n \cos(7x + \frac{n\pi}{2}) + 3^n \cos(3x + \frac{n\pi}{2}))$