与えられた選択肢の中から、正しいものをすべて選択する問題です。選択肢は、関数の連続性、微分可能性、極限に関するものです。

1. 問題の内容

与えられた選択肢の中から、正しいものをすべて選択する問題です。選択肢は、関数の連続性、微分可能性、極限に関するものです。

2. 解き方の手順

各選択肢について検証します。

* 選択肢1: $f(x)$が$x=a$で連続ならば、$f(x)$は$x=a$で微分可能である。

これは誤りです。例えば、$f(x) = |x|$は$x=0$で連続ですが、微分可能ではありません。

* 選択肢2: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ならば、$f(x)$は$x=a$で微分可能である。

これは誤りです。$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$は$f(x)$が$x=a$で連続であることを意味しますが、連続だからといって微分可能とは限りません。

例えば、$f(x)=|x|$は$x=0$で連続ですが、$x=0$で微分可能ではありません。

* 選択肢3: $f(x)$が$x=a$で微分可能ならば、$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$である。

これは正しいです。$f(x)$が$x=a$で微分可能ならば、$f(x)$は$x=a$で連続であり、連続ならば$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$が成り立ちます。

* 選択肢4: $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$が存在すれば、$f(x)$は$x=a$で微分可能である。

これは正しいです。$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$は、$f(x)$の$x=a$における微分係数の定義そのものです。

* 選択肢5: $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$が存在すれば、$f(x)$は$x=a$で連続である。

これは誤りです。$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$は$f(x)$の$x=a$における微分係数の定義そのものであり、$f(x)$が$x=a$で微分可能であることを意味します。微分可能であれば連続であるため、必ずしも誤りとは言えませんが、前提としては弱すぎます。微分可能ならば連続であることが言えます。問題文は「連続である」と言っているため誤りです。

したがって、正しいのは選択肢3と4です。

3. 最終的な答え

選択肢3と4