問題は、0 <= θ < 2π の範囲で、以下の2つの不等式を解くことです。 (1) $2\sin\theta < -\sqrt{3}$ (2) $\sqrt{2}\cos\theta - 1 \ge 0$ また、0 <= θ < 2π の範囲で、不等式 $\tan\theta \ge 1$ を解く問題もあります。

1. 問題の内容

問題は、0 <= θ < 2π の範囲で、以下の2つの不等式を解くことです。

(1) $2\sin\theta < -\sqrt{3}$

(2) $\sqrt{2}\cos\theta - 1 \ge 0$

また、0 <= θ < 2π の範囲で、不等式 $\tan\theta \ge 1$ を解く問題もあります。

2. 解き方の手順

(1) $2\sin\theta < -\sqrt{3}$ の解き方

まず、不等式を $\sin\theta$ について解きます。

$\sin\theta < -\frac{\sqrt{3}}{2}$

単位円上で $\sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ を求めます。

$\theta = \frac{4}{3}\pi, \frac{5}{3}\pi$

$\sin\theta < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは、$\frac{4}{3}\pi < \theta < \frac{5}{3}\pi$ の範囲です。

(2) $\sqrt{2}\cos\theta - 1 \ge 0$ の解き方

まず、不等式を $\cos\theta$ について解きます。

$\sqrt{2}\cos\theta \ge 1$

$\cos\theta \ge \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos\theta \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$

単位円上で $\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となる $\theta$ を求めます。

$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{7}{4}\pi$

$\cos\theta \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$ となるのは、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{4}$ または $\frac{7}{4}\pi \le \theta < 2\pi$ の範囲です。

$\tan\theta \ge 1$ の解き方

単位円上で $\tan\theta = 1$ となる $\theta$ を求めます。

$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{5}{4}\pi$

$\tan\theta \ge 1$ となるのは、$\frac{\pi}{4} \le \theta < \frac{\pi}{2}$ または $\frac{5}{4}\pi \le \theta < \frac{3}{2}\pi$ の範囲です。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4}{3}\pi < \theta < \frac{5}{3}\pi$

(2) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{4}, \frac{7}{4}\pi \le \theta < 2\pi$

$\tan\theta \ge 1$ の解：$\frac{\pi}{4} \le \theta < \frac{\pi}{2}, \frac{5}{4}\pi \le \theta < \frac{3}{2}\pi$