次の関数の $n$ 次導関数を求める問題です。 (1) $e^x \cos x$ (2) $\frac{1}{x^2 - 1}$ (3) $\cos 5x \cos 2x$

1. 問題の内容

次の関数の $n$ 次導関数を求める問題です。

(1) $e^x \cos x$

(2) $\frac{1}{x^2 - 1}$

(3) $\cos 5x \cos 2x$

2. 解き方の手順

(1) $e^x \cos x$ の $n$ 次導関数

$y = e^x \cos x$ とする。

まず、1次導関数、2次導関数を計算する。

$y' = e^x \cos x - e^x \sin x = e^x (\cos x - \sin x)$

$y'' = e^x (\cos x - \sin x) + e^x (-\sin x - \cos x) = -2e^x \sin x$

$y''' = -2e^x \sin x - 2e^x \cos x = -2e^x (\sin x + \cos x)$

$y^{(4)} = -2e^x (\sin x + \cos x) - 2e^x (\cos x - \sin x) = -4e^x \cos x$

$e^x$ と $\cos x$ を別々に微分していくと規則性がわかりにくいので、$e^x \cos x = Re(e^x (\cos x + i \sin x)) = Re(e^x e^{ix}) = Re(e^{(1+i)x})$ と考える。

$\frac{d^n}{dx^n} e^{(1+i)x} = (1+i)^n e^{(1+i)x}$

$1+i = \sqrt{2} (\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}e^{i\pi/4}$

$(1+i)^n = (\sqrt{2})^n e^{i n \pi/4} = 2^{n/2} (\cos \frac{n\pi}{4} + i \sin \frac{n\pi}{4})$

$e^{(1+i)x} = e^x (\cos x + i \sin x)$

したがって、

$\frac{d^n}{dx^n} e^x \cos x = Re(\frac{d^n}{dx^n} e^{(1+i)x}) = Re(2^{n/2} (\cos \frac{n\pi}{4} + i \sin \frac{n\pi}{4}) e^x (\cos x + i \sin x))$

$= 2^{n/2} e^x (\cos \frac{n\pi}{4} \cos x - \sin \frac{n\pi}{4} \sin x) = 2^{n/2} e^x \cos(x + \frac{n\pi}{4})$

(2) $\frac{1}{x^2 - 1}$ の $n$ 次導関数

$\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1})$

$(\frac{1}{x-1})^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{(x-1)^{n+1}}$

$(\frac{1}{x+1})^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{(x+1)^{n+1}}$

$(\frac{1}{x^2 - 1})^{(n)} = \frac{1}{2} ((\frac{1}{x-1})^{(n)} - (\frac{1}{x+1})^{(n)}) = \frac{1}{2} (\frac{(-1)^n n!}{(x-1)^{n+1}} - \frac{(-1)^n n!}{(x+1)^{n+1}})$

$= \frac{(-1)^n n!}{2} (\frac{1}{(x-1)^{n+1}} - \frac{1}{(x+1)^{n+1}})$

$= \frac{(-1)^n n!}{2} \frac{(x+1)^{n+1} - (x-1)^{n+1}}{(x^2-1)^{n+1}}$

(3) $\cos 5x \cos 2x$ の $n$ 次導関数

$\cos 5x \cos 2x = \frac{1}{2} (\cos (5x+2x) + \cos (5x-2x)) = \frac{1}{2} (\cos 7x + \cos 3x)$

$(\cos ax)^{(n)} = a^n \cos (ax + \frac{n\pi}{2})$

$(\cos 5x \cos 2x)^{(n)} = \frac{1}{2} (7^n \cos(7x + \frac{n\pi}{2}) + 3^n \cos(3x + \frac{n\pi}{2}))$

3. 最終的な答え

(1) $2^{n/2} e^x \cos(x + \frac{n\pi}{4})$

(2) $\frac{(-1)^n n!}{2} (\frac{1}{(x-1)^{n+1}} - \frac{1}{(x+1)^{n+1}})$

(3) $\frac{1}{2} (7^n \cos(7x + \frac{n\pi}{2}) + 3^n \cos(3x + \frac{n\pi}{2}))$